المعلومات الاضافية لخصائص المقدرات

المعلومات الاضافية لخصائص المقدرات

متوسط خطأ المربعات

نتذكر تعريف متوسط خطأ المربعات كالتالي:

$MSE=E[({\hat {\Theta }}-\vartheta )^{2}]$

عند توسيع العبارة نحصل كالتالي:

$=E[({\hat {\Theta }}-\vartheta )^{2}]$	$MSE$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }})+E({\hat {\Theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))^{2}+2({\hat {\Theta }}-E({\hat {\theta }}))(E({\hat {\theta }})-\vartheta )+(E({\hat {\theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))^{2}]+2E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))(E({\hat {\Theta }})-\vartheta )]+[E({\hat {\Theta }})-\vartheta )^{2}]$

لأجل العبارة المتوسطة لدينا

$2E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))(E({\hat {\Theta }})-\vartheta )]=2[E({\hat {\Theta }})-E({\hat {\Theta }})][E({\hat {\Theta }})-\vartheta )]=0$

وبالتالي لدينا

$=E[({\hat {\Theta }}-\vartheta )^{2}]$	$MSE$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }})+E({\hat {\Theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))^{2}+2({\hat {\Theta }}-E({\hat {\theta }}))(E({\hat {\theta }})-\vartheta )+(E({\hat {\theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))^{2}]+2E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))(E({\hat {\Theta }})-\vartheta )]+[E({\hat {\Theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=E[({\hat {\Theta }}-E({\hat {\Theta }}))^{2}]+[E({\hat {\Theta }})-\vartheta )^{2}]$
	$=Var({\hat {\Theta }})+[{\mbox{Verzerrung}}\;({\hat {\Theta }})]^{2}$

لا يقيس متوسط خطأ المربعات خطأ التقدير الفعلي الذي وقع في العينة العملية بل يقيس متوسط خطأ المربعات الذي حدث في العينة المكررة.

عدم التحيز :

يعرض الشكل البياني التالي التقديرات الثلاثة للعنصر $\vartheta$.

المقدرين ${\hat {\Theta }}_{1}$ و ${\hat {\Theta }}_{2}$ غير متحيزين حيث يتطابق توقعهما مع العنصر الحقيقي $\vartheta$ (المشار له بواسطة الخط المنقطع العمودي).

بالمقابل المقدر ${\hat {\Theta }}_{3}$ متحيز. لكلا المقدرين غير المتحيزين

$MSE=Var({\hat {\Theta }})$

كتحيز مساوي للصفر على أية حال ${\hat {\Theta }}_{1}$ له التباين الأقل ولذلك يفضل على ${\hat {\Theta }}_{2}$ ويفضل أيضا الى ${\hat {\Theta }}_{3}$ الذي له نفس التباين

لكنه يظهر تحيز موجب أساسي كل من المقدرات المستخدمة التالية هي غير متحيزة .

متوسط العينة :

متوسط العينة هو

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

تقدير غير متحيز للتوقع المجهول $E(X)=\mu$ حيث

$E({\bar {x}})=\mu$.

شاهد قسم تابع التوزيع لمتوسط العينة

نسبة العينة :

نسبة العينة هي

${\widehat {\pi }}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

تقدير غير متحيز لنسبة المجتمع $\pi$ حيث

$E({\widehat {\pi }})=\pi$.

شاهد قسم تابع التوزيع لنسبة العينة

تباين العينة:

نفترض العينة العشوائية من الحجم $n$

اذا توقع المجتمع $\mu$ مجهول ويقدر باستعمال متوسط العينة المقدر هو

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$

مقدر غير متحيز الى $\sigma ^{2}$ حيث

$\,E\left(s^{2}\right)=\sigma ^{2}$

شاهد قسم تابع التوزيع لتباين العينة, الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لتباين العينة ولا يكون $s^{2}$ مقدر غير متحيز الى $\sigma ^{2}$ حيث يميل الى انقاص الانحراف المعياري للمجتمع بواسطة المقدر

متحيز حيث

شاهد قسم تابع التوزيع لتباين العينة يعطى التحيز باستعمال المقدر

سيميل الشخص لانقاص التباين المجهول يقرب المقدر على أية حال لعدم التحيز مع زيادة حجم العينة $n$.

الفعالية:

• متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال لتوقع المجتمع المجهول $\mu$ وهذا صحيح لأي توزيع.

• نفترض البيانات المسحوبة من توزيع $N(\mu ;\sigma ^{2})$, متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال الى $\mu$ يمكن اظهار وجود مقدر متحيز الى $\mu$ وله التباين الأصغري.

• متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال للعنصر المجهول $\lambda$ لتوزيع بواسون .

• نسبة العينة ${\widehat {\pi }}$ هي تقدير فعال لنسبة المجتمع المجهول $\pi$ لأجل المجتمعات ثنائية التصنيف بمعنى المتغيرات العشوائية لها توزيع بيرنولي العام.

• المجتمع الموزع طبيعيا متوسط العينة ${\bar {x}}$ ووسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$ هي مقدرات غير متحيزة للتوقع المجهول $\mu$, للعينات العشوائية (مع الاعادة) لدينا

${\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

علاوة على ذلك يمكن اظهار أن

$\sigma ^{2}({\bar {x_{z}}})={\frac {\pi }{2}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}=1,571\;\sigma ^{2}({\bar {x}})$

وحينئذ

$\sigma ^{2}({\bar {x}})<\sigma ^{2}({\bar {x_{z}}})$

متوسط العينة ${\bar {x}}$ فعال بشكل نسبي عكس وسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$.

التقارب:

• يعتبر التقارب عادة الحد الأدنى للمقدر بالطبع لا يمنع التقارب المقدر ليكون له تحيز كبير

والتباين في أحجام عينات صغيرة أو متوسطة الحجم يضمن التقارب فقط أن التحيز والتباين يذهب للصفر

لأجل العينات الكبيرة بشكل كافي.

• للعينات العشوائية متوسط العينة ${\bar {x}}_{n}$ تقدير متقارب لتوقع المجتمع $\mu$

حيث ${\bar {X}}_{n}$ والتباين $Var({\bar {x}}_{n})=\sigma ^{2}/n$ يقترب للصفر بمعنى :

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma ^{2}}{n}}=0$

• للعينات العشوائية نسبة العينة ${\widehat {\pi }}_{n}$ هي تقدير متقارب لنسبة المجتمع $\pi$ كمقدر غير متحيز والتباين يقترب للصفر $Var({\widehat {\pi }}_{n})=\pi (1-\pi )/n$ بمعنى

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\pi (1-\pi )}{n}}=0$

• لأجل المجتمع الموزع بتوزيع غواسيان وسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$ هو مقدر متقارب للعنصر المجهول $\mu$

• لأجل توزيع غواسيان: المقدر هو $s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

متقارب للتباين المجهول $\sigma ^{2}$ حيث المقدر غير متحيز والتباين يقترب للصفر $Var(s^{2})=2\sigma ^{4}/(n-1)$

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}=0$

تباين العينة هو تقدير متقارب لتباين المجتمع لأجل التوزيعات التي لها متوسط محدد وتباين.