المثال الداعم للتوزيع الطبيعي

$X$ مع التوزيع الطبيعي $N(100;\,10)$

1- نريد حساب: $P(X\leq x)$ لأجل $x=125$

$z=(x-\mu )/\sigma =(125-100)/10=2,5$

$P(X\leq 125)=F(125)=\Phi \left({\frac {125-100}{10}}\right)=\Phi (2.5)=0.99379$

$X$ أصغر من 125.

2- نريد حساب الاحتمال: $P(X\geq x)$ لأجل $x=115.6$

$z=(x-\mu )/\sigma =(115.6-100)/10=1.56$

$1-P(X\leq 115.6)=1-F(115.6)$ $=$ $P(X\geq 115.6)$

$1-\Phi \left({\frac {115.6-100}{10}}\right)=1-\Phi (1.56)$ $=$

$1-0.94062=0.05938$ $=$

$X$ أكبر من 115.6

3- دعنا نحسب الاحتمال: $P(X\leq x)$ لأجل $x=80$

$z=(x-\mu )/\sigma =(80-100)/10=-2$

$P(X\leq 80)=F(80)=\Phi \left({\frac {80-100}{10}}\right)=\Phi (-2)=1-\Phi (2)=1-0.97725=0.02275$

$X$ أصغر من 80 بنسبة احتمال 2.275%

4- دعنا نحسب: $P(X\geq x)$ لأجل $x=94.8$

$z=(x-\mu )/\sigma =(94.8-100)/10=-0.52$

$1-P(X\leq 94.8)=1-F(94.8)$ $=$ $P(X\geq 94.8)$

$=$ $1-\Phi \left({\frac {94.8-100}{10}}\right)=1-\Phi (-0.52)$

$=$ $1-(1-\Phi (0.52))=\Phi (0.52)=0.698468$

$X$ أكبر من 94.8 هو 69.85%

5- نحسب الاحتمال $P(x_{u}\leq X\leq x_{o})$ لأجل $x_{u}=88.8$ و $x_{o}=132$

$z_{u}=(x_{u}-\mu )/\sigma =(88.8-100)/10=-1.12$

$z_{o}=(x_{o}-\mu )/\sigma =(132-100)/10=3.2$

$P(X\leq 132)-P(X\leq 88,8)$ $=$ $P(88.8\leq X\leq 132)$

$F(132)-F(88.8)$ $=$

$\Phi (3.2)-\Phi (-1.12)$ $=$

$\Phi (3.2)-(1-\Phi (1.12)$ $=$

$0.999313+0.868643-1$ $=$

$0.867956$ $=$

$X$ في المجال $[88,8\,;\,132]$ بنسبة احتمال 86.8%

6- دعنا نحسب: $P(x_{u}\leq X\leq x_{o})$ لأجل $x_{u}=80.4$ و $x_{o}=119.6$

$z_{u}=(x_{u}-\mu )/\sigma =(80.4-100)/10=-1.96$

$z_{o}=(x_{o}-\mu )/\sigma =(119.6-100)/10=1.96$

$P(X\leq 119.6)-P(X\leq 80.4)$ $=$ $P(80.4\leq X\leq 119.6)$

$F(119.6)-F(80.4)$ $=$

$\Phi (1.96)-\Phi (-1.96)$ $=$

$\Phi (1.96)-(1-\Phi (1.96)$ $=$

$2\Phi (1.96)-1$ $=$

$2\cdot 0.975-1=0.95$ $=$

$X$ في المجال $[80,4\,;\,119,6]$ بنسبة احتمال 95%.

7- نريد حساب المجال المتناظر حول القيمة المتوقعة والذي سيحتوي 99% من تحقق $X$

$0.99$ $=$ $P(x_{u}\leq X\leq x_{o})$

$P\left({\frac {x_{u}-100}{10}}\leq Z\leq {\frac {x_{o}-100}{10}}\right)$ $=$

$P(-z\leq Z\leq z)=2\Phi (z)-1$ $=$

${\frac {1.99}{2}}=0.995$ $=$ $\Phi (z)$

لأجل القيمة (الاحتمال) 0.995 نجد في جداول تابع التوزيع لتابع التوزيع الطبيعي المعياري بأن: $z=2,58$ .هذا يعني:

$x_{o}=\mu +z\sigma =100+2.58\cdot 10=125.8$

$x_{u}=\mu -z\sigma =100-2.58\cdot 10=74.2$

$P(74.2\leq X\leq 125.8)=0.99$

يقع المتغير العشوائي $X$ في المجال $[74,2\,;\,125,8]$ بنسبة احتمال 99%

8- دعنا نجد $x$ أي 76.11% من تحقق $X$ و أصغر من $x$

$0.7611$ $=$ $P(X\leq x)$

$P\left(Z\leq {\frac {x-100}{10}}\right)=P(Z\leq z)$ $=$

للقيمة 0.7611 نحصل عليها من جداول التوزيع الطبيعي المعياري بأن $z=0.71$ حينئذ:

$x=\mu +z\sigma =100+0.71\cdot 10=107.1$

لذلك $P(X\leq 107.1)=0.7611$

توجد نسبة 76.11% بأن المتغير العشوائي $X$ سيكون أصغر من 107.1

9- نحسب $x$: بأن 3.6% من تحقق $X$ أكبر من $x$

$0.036$ $=$ $P(X\geq x)$

$P\left(Z\geq {\frac {x-100}{10}}\right)=P(Z\geq z)$ $=$

حينئذ: $P(Z\geq z)=1-P(Z\leq z)=0.964$ , باستعمال جداول التوزيع الطبيعي المعياري القيمة $z=1.8$ لأجل الاحتمال 0.964 . حينئذ:

$x=\mu -z\sigma =100-1.8\cdot 10=118$

لذلك: $P(X\geq 118)=0.036$

توجد نسبة 3.6% بأن المتغير العشوائي $X$ أكبر من 118