المثال الداعم للاستقلال الاحصائي

"الحالة الاقتصادية الحالية"  التي تأخذ القيم المعروفة السابقة. بالاضافة  للاجابة  على هذا السؤال سجل الباحثون  مكان سكن المقيم.

القيم الممكنة لهذا المتغير: الشرق (يتضمن شرق برلين سابقا) والغرب (يتضمن غرب برلين سابقا). سيشار لهذا المتغير " مكان السكن" مع القيم الممكنة الغرب, الشرق.

يزود التوزيع التكراري لهذين المتغيرين العشوائيين في الجدول1.

السؤال المهم للفحص في هذا المثال فيما اذا تقييم الحالة الاقتصادية يعتمد على مكان سكن المواطن. لذلك يحتوي الجدول 1 أيضا الاحتمالات المحسوبة من التوزيعات الهامشية تحت فرضية الاستقلال ( بمعنى ) والمشار اليها بالمتوقعة.

الجدول 1 : الحالة الاقتصادية الحالية وسكن المقيم في 1991

الحالة الاقتصادية	السكن		التوزيع الهامشي
	الغرب	الشرق
جيد جدا الملاحظة	0.072	0.056	0.128
المتوقعة	0.063	0.065
جيد الملاحظة	0.257	0.204	0.461
المتوقعة	0.228	0.233
مقبول الملاحظة	0.151	0.277	0.378
المتوقعة	0.187	0.191
سيئ الملاحظة	0.012	0.014	0.026
المتوقعة	0.013	0.013
سيئ جدا الملاحظة	0.002	0.005	0.007
المتوقعة	0.003	0.004
التوزيع الهامشي	0.494	0.506	1.000

يعرف الشكل البياني التالي تابع التوزيع المشترك لهذين المتغيرين العشوائيين:

$f(y_{j}\vert x_{i}),$في الجدول 2.

الجدول 2 : التوزيع الشرطي $f(y_{j}\vert x_{i})$

الحالة الاقتصادية	السكن		التوزيع الهامشي
	الغرب	الشرق
جيد جدا	0.563	0.437	0.100
جيد	0.558	0.442	1.000
مقبول	0.339	0.601	1.000
سيئ	0.462	0.538	1.000
سيئ جدا	0.286	0.714	1.000

يبين الجدول 1 :

يعتبر الشخص من غرب برلين الحالة الاقتصادية " جيدة " باحتمال 0.257 . اذا مكان السكن وتقييم الحالة الاقتصادية مستقلين, هذا الاحتمال مساوي الى 0.228 .

يدل الجدول 2 :

الشخص القادم من غرب برلين والذي يعتبر الحالة الاقتصادية جيدة باحتمال 0.558 , والشخص القادم من شرق برلين مع الاحتمال 0.442 ,تختلف هذه الاحتمالات عن التوزيع الهامشي في السطر الأخير للجدول 1.

يدل هذا أن المتغيرين و ليسا مستقلين , يعتمد تقييم الحالة الاقتصادية على مكان سكن الشخص .

أجري هذا المسح أيضا مع 3000 شخص أخرين في عام 1996 , يعرض التوزيع المشترك من الدراسة في الجدول 3 . مع القيم الناتجة تحت الاستقلال (المشار اليها "المتوقعة") , يحتوي الجدول 4 التوزيعات الشرطية.

الجدول 3 : الحالة الاقتصادية ( )ومكان سكن الشخص () في عام 1996

الحالة الاقتصادية	السكن		التوزيع الهامشي
	الغرب	الشرق
جيد جدا الملاحظة	0.006	0.002	0.008
المتوقعة	0.05	0.003
جيد الملاحظة	0.082	0.036	0.118
المتوقعة	0.078	0.040
مقبول الملاحظة	0.314	0.175	0.489
المتوقعة	0.323	0.166
سيئ الملاحظة	0.215	0.104	0.319
المتوقعة	0.211	0.108
سيئ جدا الملاحظة	0.044	0.022	0.066
المتوقعة	0.044	0.022
التوزيع الهامشي	0.661	0.339	1.000

التوزيع الشرطي

الحالة الاقتصادية	السكن		التوزيع الهامشي
	الغرب	الشرق
جيد جدا	0.750	0.250	0.100
جيد	0.558	0.305	1.000
مقبول	0.358	0.601	1.000
سيئ	0.462	0.326	1.000
سيئ جدا	0.667	0.333	1.000

يعرض الشكل البياني التالي التوزيع المشترك لهذين المتغيرين العشوائيين.

باستعمال البيانات من عام 1996 , يوجد اختلافات مابين الاحتمالات المشاهدة والاحتمالات المتوقعة اذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة . بالاضافة , يختلف التوزيع الشرطي عن التوزيع الهامشي . هذا يعني بأننا لا نستطيع استنتاج تقييم الحالة الاقتصادية مستقلة عن مكان سكن الشخص في عام 1996 .

الاستنتاجات المتعلقة باستقلال المتغيرات العشوائية "الحالة الاقتصادية" و "مكان السكن " صحيحة فقط للأشخاص من 3000 المشمولين في التجربة , هذا المثال سيناقش أكثر في فصل "اختبار الاستقلال".