المثال الداعم لتوزيع بواسون

المثال الداعم لتوزيع بواسون

خلال التجربة يعرف قسم خدمة الزبائن لمتجر كبير رئيسي , بأنه يستقبل بالمتوسط زبون واحد في كل ساعة بين 9 صباحا و الثانية بعد الظهر.

وزبونين لكل ساعة بين الساعة الثانية ظهرا والسابعة مساء. نعتبر طلب الخدمة من أي زبون عشوائي مستقل عن طلبات الزبائن الأخرين.

سيتبع المتغير العشوائي $X_{1}$ = عدد الزبائن كل ساعة بين 9 صباحا والثانية بعد الظهر توزيع بواسون وله العنصر $\lambda _{1}$ =1

سيتبع أيضا المتغير العشوائي $X_{2}$ = عدد الزبائن بين الساعة الثانية ظهرا والسابعة مساءا توزيع بواسون لكن مع العنصر $\lambda _{2}$ = 2 لكلاهما نفس الفترة الزمنية t=5.

باستعمال هذه المعلومات , نحسب احتمال الحصول على عدد معين من الزبائن بين 9 صباحا و الثانية بعد الظهر على سبيل المثال اذا $X_{1}$ = 6

$P(X_{1}=6)=f_{PO}(6;1\cdot 5)={\frac {(\lambda t)^{x}}{x!}}e^{-\lambda t}={\frac {(1\cdot 5)^{6}}{6!}}e^{-1\cdot 5}=0.1462$

احتمال الحصول على أكثر من 4 زبائن في قسم خدمة الزبائن:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:23»): {\displaystyle P(X_1 &gt; 4) = 1 - P(X_1 \leq 4) = 1 - e^{-5} \left( \frac{5^0}{0!}... ...frac{5^2}{2!} + \frac{5^3}{3!} + \frac{5^4}{4!} \right) = 1 - 0.4405 = 0.5595 }

تابع الكثافة الاحتمالي لتوزيع بواسون (5) PO:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:23»): {\displaystyle X_{2} &gt; 4} , 6 = $X_{2}$) بين الساعة الثانية ظهرا والسابعة مساءا .

$P(X_{2}=6)=f_{PO}(6;2\cdot 5)={\frac {(\lambda t)^{x}}{x!}}e^{-\lambda t}={\frac {(2\cdot 5)^{6}}{6!}}e^{-2\cdot 5}=0.063$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:23»): {\displaystyle P(X_2 &gt; 4) = 1 - P(X_2 \leq 4) = 1 - e^{-10} \left( \frac{10^0}{0... ...c{10^2}{2!} + \frac{10^3}{3!} + \frac{10^4}{4!} \right) = 1 - 0.0293 = 0.9707 }

تابع الكثافة الاحتمالي لتوزيع بواسون (10) PO :

باستعمال هذه النتائج نستطيع تحديد فيما اذا المتغيرات العشوائية لطلبات خدمة الزبائن $X_{1}$ و $X_{2},$ مستقلة.

احتمال استقبال أكثر من 4 زبائن بين الساعة 9 صباحا و الثانية ظهرا و الثانية ظهرا حتى السابعة مساءا يتم الحصول عليه كالتالي:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:23»): {\displaystyle P(X_1 &gt; 4, X_2 &gt; 4) = P(X_1 &gt; 4) \cdot P(X_2 &gt; 4) = 0.5595 \cdot 0.9707 = 0.5431. }

للحصول على العدد الاجمالي للزبائن بين الساعة 9 صباحا والسابعة مساءا, نخلق المتغير العشوائي $Y=X_{1}+X_{2}$ حيث $X_{1}$ و $X_{2}$ مستقلين, Y لها توزيع بواسون مع العنصر $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1+2=3$.