المتغير العشوائي المستمر , الكثافة , وتابع التوزيع

$X$ الواقع بين $a$ و $b$ , تساوي للمساحة بين الكثافة ومحور $x$ على المجال $[a,b]$.

يحسب تابع الكثافة $f(x)$ الاحتمال بأن المتغير العشوائي يتوضع في المجال $[x,x+dx]$. احتمال المتغير العشوائي المستمر المساوي لعدد حقيقي معين دائما مساوي للصفر , المساحة تحت النقطة المعينة مساوية للصفر: $\int _{x}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(x)=0\,.$ يتضمن ذلك كفرضية, لا يعتمد احتمال المتغير العشوائي المستمر $X$على المجالات المغلقة والمفتوحة. $\ P(a)=P(b)=0\,.$ لأن $P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)\$ $\rightarrow \infty )$ N ) يقرب المدرج التكراري بواسطة التابع المستمر . المساحة بين النقاط $a$ و $b$ مطابقة للاحتمال بأن المتغير العشوائي $X$ سيقع في المجال $[a,b]$. سيحسب هذا الاحتمال باستعمال التكامل. تابع التوزيع $F(x),$ هو احتمال المتغير العشوائي $X$ أقل من أو يساوي $x$. خواصه كالتالي :

$F(x)$ غير مستمر, $F(x_{1})\leq F(x_{2})$ يتضمن $x_{1}<x_{2}$

$F(x)$ مستمر

$0\leq F(x)\leq 1$

$\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0$

$\lim _{x\rightarrow +\infty }F(x)=1$

لا يتناقص تابع التوزيع لأن ذلك يتضمن احتمالات سالبة. بالعموم يعرف تابع التوزيع لكل الأعداد الحقيقية, الحدود على فضاء العينة ضروري للوصف التام لتابع التوزيع .