المتغيرات العشوائية ثنائية البعد

$X\qquad Y$

$y_{1}$

...

$y_{j}$

...

$x_{1}$

$f(x_{1},y_{1})$

...

$f(x_{1},y_{j})$

... : : ... : ...

$x_{i}$

$f(x_{i},y_{1})$

...

$f(x_{i},y_{j})$

... : : ... : ...

تابع الكثافة لزوج من المتغيرات العشوائية $P(x<X\leq x+\triangle x;y<Y\leq y+\triangle y)=f(x,y)$

$F(x,y)\geq 0,\quad \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,dx\,dy=1$

$F(x,y)$ هو احتمال المتغير العشوائي $X$ ليس أكبر من $x$ وفي نفس الوقت المتغير $Y$ ليس أكبر من $y$

سيكتب تابع التوزيع لزوج من المتغيرات العشوائية المنقطعة كالتالي:

$F(x,y)=P(X\leq x,\,Y\leq y)=\sum \limits _{x_{i}\leq x}\sum \limits _{y_{j}\leq y}f(x_{i},y)j)$

تابع التوزيع لزوج من المتغيرات العشوائية المستمرة :

$F(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(u,v)\,du\,dv$

التوزيع الهامشي

التوزيع الهامشي $f(x_{i}),$ للمتغير العشوائي المنقطع $X$ هو احتمال المتغير $X$ مساوي الى $x_{i}$ بدون اعتبار المتغير $Y$

ويعرف التوزيع الهامشي $f(y_{j}),$ للمتغير العشوائي $Y,$ بشكل مماثل:

$P(X=x_{i})=f(x_{i})=\sum \limits _{j}f(x_{i},y_{j})$

$P(Y=y_{j})=f(y_{j})=\sum \limits _{i}f(x_{i},y_{j})$

التوزيعات الهامشية الناتجة أحادية البعد هي:

$X\qquad Y$	$y_{1}$	...	$y_{j}$	...	MR $X$
$x_{1}$	$f(x_{1},y_{1})$	...	$f(x_{1},y_{j})$	...	$f(x_{1})$
:	:	...	:	...	:
$x_{i}$	$f(x_{i},y_{1})$	...	$f(x_{i},y_{j})$	...	$f(x_{i})$
:	:	...	:	...	:
MR $Y$	$f(y_{1})$	...	$f(y_{j})$	...	1,00

بشكل مماثل نحصل على الكثافات الهامشية لزوج من المتغيرات العشوائية المستمرة $X$ و $Y$:

$f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,dy$

$f(y)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,dx$

تابع التوزيع الهامشي الشرطي

تابع التوزيع الهامشي الشرطي $F_{y}(x)$ هو تابع التوزيع للمتغير العشوائي $X$ بشرط قيمة $Y$ ويعرف كالتالي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \liin 4:5»): {\displaystyle P(X\leq x\vert Y)=F_{y}(x)=\left\{ \begin{array}{c} \sum\li... ...ad \text{\rm for }X\ \text{\rm continuous} \end{array}\right. }

تابع التوزيع الهامشي الشرطي $F_{x}(y)$ هو تابع التوزيع للمتغير العشوائي $Y$ بشرط قيمة $X,$ ويعرف كالتالي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \liin 4:5»): {\displaystyle P(Y\leq y\vert X)=F_{x}(y)=\left\{ \begin{array}{c} \sum\li... ...ad \text{\rm for }Y\ \text{\rm continuous} \end{array}\right. }