العناصر

$X$ بواسطة $E(X)$ أو $\mu ,$ المطابقة للوسط الحسابي للتوزيع التكراري التجريبي.

القيمة المتوقعة هي قيمة المتوسط والمتوقع الحصول عليها كنتيجة التجربة , باعادة التجربة عدة مرات , القيمة المتوقعة $E(X)$ هو العدد الذي تم الحصول عليه كمتوسط كل نتائج التجربة.

التعريف:

نعتبر المتغير العشوائي $X$ مع النتائج $x_{i}$ و الاحتمالات المطابقة $f(x_{i})$. عندئذ يعرف التعبير:

$E(X)=\mu =\sum \limits _{i}x_{i}f(x_{i})$

بالقيمة المتوقعة للمتغير العشوائي $X$ .

لأجل المتغير العشوائي المستمر $X$ مع الكثافة الاحتمالية $f(x)$ نعرف القيمة المتوقعة كالتالي:

$E(X)=\mu =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)\,dx$

خواص القيمة المتوقعة:

نفرض $X$ و $Y$ متغيرين عشوائيين مع قيمهم المتوقعة $E(X)$ و $E(Y)$ عندئذ :

لأجل $Y=a+bX$ مع أي $a,b$

$E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X)$

وبالنسبة $Z=X+Y$

$E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

لأجل $X,Y$ متغيرين عشوائيين مستقلين

$E(XY)=E(X)E(Y)$ التباين تعريف : يرمز التباين عادة بواسطة $Var(X)$ أو $\sigma ^{2},$ ويعرف بالقيمة المتوقعة للانحرافات المربعة بين المتغير العشوائي وقيمته المتوقعة : $Var(X)=E[(X-E(X))^{2}]=E(X^{2})=[E(X)]^{2}$ وبالنسبة للمتغير العشوائي المنقطع  : $Var(X)=\sigma ^{2}=\sum \limits _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}\cdot f(x_{i})=\sum \limits _{i}x_{i}^{2}f(x_{i})-[E(X)]^{2}$ وكذلك بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر يعرف التباين كالتالي : $Var(X)=\sigma ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)]^{2}\cdot f(x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}$ خواص التباين : نفرض $X$ و $Y$ متغيرين عشوائيين مع تبايناتهم $Var(X)$ و $Var(Y)$ عندئذ :

لأجل $Y=a+bX$ حيث $a$ و $b$ ثوابت

$Var(Y)=Var(a+bX)=b^{2}Var(X)$

وأيضا اذا كان $X,Y$ متغيرات عشوائية مستقلة و $Z=X+Y$

$Var(Z)=Var(X)+Var(Y)$ $\sigma _{Z}=\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}}$ الانحراف المعياري يرمز الانحراف المعياري $\sigma$ بالجذر التربيعي للتباين الذي يلخص انتشار التوزيع, تدل القيم الكبيرة لمتوسط الانحراف المعياري بأن المتغير العشوائي $X$ تجاوز بشكل كبير حول القيمة المتوقعة.تشير القيم الصغيرة للانحراف المعياري بأن قيم $X$ ستتركز حول القيمة المتوقعة. الدالة المعيارية من المفيد تحويل المتغير العشوائي لنحصل على التوزيع غير المتعلق بأي من العناصر (المجهولة). وبالتالي نحصل على المتغير العشوائي المعياري: $Z={\frac {X-E(X)}{\sigma _{X}}}$ القيمة المتوقعة $E(Z)=0$ والتباين $Var(Z)=1$ . متباينة تشيببتشف تزود متباينة تشيببتشف حد الاحتمال بأن المتغير العشوائي يقع ضمن المجال حول قيمته المتوقعة. يتطلب هذا التوزيع معرفة القيمة المتوقعة والتباين للتوزيع , لا نعرف التوزيع بحد ذاته . تبنى المتباينة على المجال: $[\mu -k\cdot \sigma ;\mu +k\cdot \sigma ]$ الذي يتمركز حول $\mu$ التعريف : نعتبر المتغير العشوائي $X$ مع القيمة المتوقعة $\mu$ والتباين $\sigma$ عندئذ لأجل أي $k>0$ لدينا $P(\mu -k\cdot \sigma \leq X\leq \mu +k\cdot \sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$ نرمز $k\cdot \sigma =a$ نحصل: $P(\mu -a\leq X\leq \mu +a)\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}$ نستعمل التباين للحصول على حد الحادث المكمل بأن المتغير العشوائي $X$ يسقط خارج المجال, $\{\vert X-\mu \vert >k\cdot \sigma \}$ $P(\vert X-\mu \vert >k\cdot \sigma )<1/k^{2}$ ولأجل $k\cdot \sigma =a$ ${\displaystyle }$$P(\vert X-\mu \vert >a)<\sigma ^{2}/a^{2}$ نلاحظ بأن الاحتمالات الصحيحة $\{\vert X-\mu \vert <k\cdot \sigma \}$ و $\{\vert X-\mu \vert \leq k\cdot \sigma \}$ تعتمد على التوزيع المحدد $X$.