الدعم : اختبار الفيروس

$0.5$ بالمئة من المجتمع مصاب بعدوى الفيروس وسيؤدي لمرض حاد بعد فترة طويلة من الزمن . أظهرت دراسة طبية بأن $99$ بالمئة من الأشخاص الذين يعانون من الأعراض تؤكد العدوى مع اختبار الفيروس. من ناحية أخرى ,$2$ بالمئة من الناس لا يطورون اختبار الأعراض بشكل ايجابي .

ما هو $I$ و الاختبار $T$:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "}" or [a-zA-Z] but "*" found.in 1:28»): {\displaystyle \begin{align*} I & =\left\{ \begin{array}[c]{ll} 1 & \text{\rm if a person is in... ...e}\\ 0 & \text{\rm if the test is not positive} \end{array}\right. \end{align*}}

بالاستعمال المذكور فوق , نعرف الاحتمالات التالية :

$P\left(I=1\right)=0.005$

$P\left(T=1\vert I=1\right)=0.99$

$P\left(T=1\vert I=0\right)=0.02$

نود حساب $P\left(I=1\vert T=1\right)$.

يحتوي تعريف الاحتمال الشرطي الاحتمالات الغير المتوفرة بسهولة :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but "]" found.in 3:15»): {\displaystyle P\left( I=1\vert T=1\right) =\frac{P\left[ \left( I=1\right) \cap... ...=1 \right) \right] }{P\left( T=1\right) }, \text{ for } P\left( T=1 \right) >0 }

لاستبدال بسط الكسر بواسطة كمية معروفة نعيد الترتيب كالتالي

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but "]" found.in 3:15»): {\displaystyle P\left( T=1\vert I=1\right) =\frac{P\left[ \left( I=1\right) \cap... ...=1 \right) \right] }{P\left( I=1\right) }, \text{ for } P\left( I=1 \right) >0 }

ينتج

$P\left[\left(I=1\right)\cap \left(T=1\right)\right]=P\left(T=1\vert I=1\right)P\left(I=1\right)$

مقام الكسر يمكن أن يحسب باستعمال نظرية الاحتمالات الكلية :

$P\left(T=1\right)=P\left(I=1\vert T=1\right)P\left(I=1\right)+P\left(T=1\vert I=1\right)P\left(I=0\right).$

لذلك نحصل

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "." found.in 1:82»): {\displaystyle P\left( I=1\vert T=1\right) =\frac{P\left( T=1\vert I=1\right) P\... ...\right) P\left( I=1\right) + P\left( T=1\vert I=1\right) P\left( I=0\right) }, }

نجري الحساب نحصل على نتيجة مفاجئة جدا :

$P\left(I=1\vert T=1\right)={\frac {0.99\cdot 0.005}{0.99\cdot 0.005+0.02\cdot 0.995}}=0.199.$

لهذا الشخص المختار عشوائيا عنده فرصة $80$ ألا يكون مصاب بالعدوى . لكن لا ننسى فرضية حاسمة عملت : نسبة الناس المصابين يجب أن تكون نفسها في المجتمع وعينة الأشخاص المختبرين . هذا قد يكون حقيقي للاختبارات الطبية الواسعة النطاق . لكن في الممارسة , يوجد عموما سبب لاختبار الشخص.