الفرق بين المراجعتين لصفحة: «التوزيع الطبيعي»
من MM*Stat Arabisch
(Die Seite wurde neu angelegt: „التوزيع الطبيعي,المثال التفاعلي للتوزيع الطبيعي,المثال الداعم للتوزيع الطبيعي …“) |
لا ملخص تعديل |
||
سطر ١: | سطر ١: | ||
<math> \mu </math> و <math> \sigma ,</math> ويشار له <math> X\sim N(\mu ,\sigma ),</math> اذا وفقط اذا تابع '''كثافته الاحتمالي ''' : | |||
<math> f_{N}V(x;\mu ,\sigma )= | |||
\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad -\infty | |||
<x<+\infty ,\sigma >0 | |||
</math> | |||
<math> F_{N}V(x;\mu ,\sigma )= | |||
\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu | |||
)^{2}/2\sigma ^{2}}\,dt | |||
</math> | |||
يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين | يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين <math> \mu </math> و <math> \sigma </math> , أي <math> E(X) = \mu = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} xf(x)\,dx, \quad V... | ||
...{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu)^2 f(x)\,dx, \quad | |||
\sigma = | |||
\sqrt{{\sigma}^2} | |||
</math> | |||
سطر ٤٦: | سطر ٣٤: | ||
لدينا X موزع توزيع طبيعي | لدينا X موزع توزيع طبيعي <math> X\sim N(\mu ,\sigma )</math> و Y هو تركيب خطي الى X: <math> Y=a+bX\,,b\neq 0</math> | ||
عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا : | عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا : | ||
سطر ٦٥: | سطر ٥٣: | ||
خاصة اعادة الانتاج : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n | خاصة اعادة الانتاج : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n <math> X_1,X_2 \dots,X_n</math> مع التوزيعات الطبيعية <math> X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i), E(X_i) = \mu_i, Var(X_i) = | ||
\sigma_i^2. </math> | |||
مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة | مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة <math> X_1, \dots, | ||
X_n</math> , بمعنى | |||
<math> Y = a_1X_1 + a_2X_2 + \dots + a_nX_n, a_i \neq 0 </math> | |||
سطر ٨٣: | سطر ٧٣: | ||
<math> Y = \sum\limits_{i=1}^nA_iX_i \sim N \left(\sum\limits_{i=1}^na_i\mu_i, | |||
\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2}\right) | |||
</math> | |||
سطر ٩٦: | سطر ٨٨: | ||
<math> Z = \frac{X - \mu}{\sigma} | |||
</math> | |||
سطر ١٣٧: | سطر ١١١: | ||
<math> \varphi (z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{z^2}{2}} | |||
</math> | |||
سطر ١٤٥: | سطر ١٢٠: | ||
<math> \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{z} e^{-v^{2}/2}\,dv | |||
</math> | |||
سطر ١٦٢: | سطر ١٣٨: | ||
<math> \mu,\sigma</math> | |||
) | ) | ||
<math> x=\mu +z\cdot \sigma ,z=\frac{x-\mu }{\sigma }</math> | |||
سطر ١٨٧: | سطر ١٥٠: | ||
<math> F_{NV}(x;\mu,\sigma) = P(X \leq x) = P \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \leq | |||
\frac{x - \mu}{\sigma} \right) = P(Z \leq z) = \Phi(z) | |||
</math> | |||
سطر ١٩٦: | سطر ١٦١: | ||
مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود | مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود <math> x_{l}</math> و <math> x_{u}(x_{l}\leq x_{u})</math> | ||
أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال ( | أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال ( <math> \alpha </math> - 1 ), بمعنى (<math> \alpha </math> -1 .100% ) من كل قيم X التي ستقع في هذا المجال و (<math> \alpha </math>.100% ) ستقع خارج المجال (<math> \alpha </math> - 1 ) يشار عادة كدرجة ثقة. | ||
للقيم المعروفة من | للقيم المعروفة من <math> \mu ,</math> القيمة المتوقعة من X, يبنى المجال لجعل احتمال X يقع خارج هذه المنطقة ( توجد منطقتين) مع [[الاحتمال]] 2 / <math> \alpha </math> | ||
ندعو المجال | ندعو المجال | ||
سطر ٢٠٧: | سطر ١٧٢: | ||
( | (<math> \mu - k \leq X \leq \mu + k</math>) = (<math> x_u \leq x_o</math> ) | ||
سطر ٢١٥: | سطر ١٨٠: | ||
<math> \alpha </math> - 1 =(<math> x_u \leq X \leq x_o</math> P | |||
) | ) | ||
لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة | لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة <math> \mu </math> يقاس عادة بالجداء من <math> \sigma </math> | ||
مجال الثقة له الصيغة | مجال الثقة له الصيغة | ||
سطر ٢٢٨: | سطر ١٩٣: | ||
X | X <math> \sigma \leq</math> c - <math> \mu </math> | ||
اذا المتغير العشوائي X هو N( | اذا المتغير العشوائي X هو N( | ||
<math> \mu,\sigma</math> | |||
) عندئذ لأجل | ) عندئذ لأجل <math> \sigma </math> c + <math> \mu </math> x= | ||
سطر ٢٤١: | سطر ٢٠٦: | ||
<math> \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{\mu + c\sigma - mu}{\sigma} | |||
</math> | |||
<math> z = c | |||
</math> | |||
و P(Z | و P(Z | ||
<math> \leq </math> | |||
z ) = | z ) = | ||
<math> \Phi</math> | |||
(z) = 1 - | (z) = 1 - | ||
<math> \alpha </math> | |||
/2 . | /2 . | ||
القيمة الحرجة | القيمة الحرجة <math> z_{1-\alpha /2}</math> للاحتمال <math> \alpha </math>/2 - 1 يتم الحصول عليه من قيم الجدول للتوزيع الطبيعي المعياري . | ||
سطر ٣١٨: | سطر ٢٨٥: | ||
من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة | من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة <math> \alpha </math> | ||
- 1 | - 1 | ||
مراجعة ١٦:٣٣، ٣١ يوليو ٢٠٢٠
و ويشار له اذا وفقط اذا تابع كثافته الاحتمالي :
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 3:1»): {\displaystyle f_{N}V(x;\mu ,\sigma )= \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad -\infty <x<+\infty ,\sigma >0 }
يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين و , أي
خاصتان هامتان للمتغيرات العشوائية الطبيعية :
التحويل الخطي:
لدينا X موزع توزيع طبيعي و Y هو تركيب خطي الى X:
عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا :
قيم العناصر للمتغير العشوائي المحول , يتبع من قواعد الحساب مع القيم المتوقعة و التباينات:
.
خاصة اعادة الانتاج : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n مع التوزيعات الطبيعية
مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة , بمعنى
لأجل واحد على الأقل , ويكون له توزيع طبيعي ثانية
يعرض الشكل البياني تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي ( N(2;1
تابع الكثافة الاحتمالي
يشير المتغير العشوائي Z بالمتغير العشوائي المعياري الذي يتمركز حول متوسطه ويقاس بانحرافه المعياري.
اذا X موزع طبيعيا, عندئذ Z له التوزيع الطبيعي أيضا.
التوزيع الطبيعي المعياري :
يشار التوزيع Z عادة بالتوزيع الطبيعي المعياري (1 ; 0 ) N .
تابع الكثافة الاحتمالي للتوزيع الطبيعي المعياري:
تابع التوزيع للتوزيع الطبيعي المعياري:
القيمة المتوقعة و التباين للتوزيع الطبيعي المعياري :
Var(Z) = 1 E(Z) = 0
يعرض تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالأشكال التالية:
تابع الكثافة الاحتمالي (N(0;1
)
أي يشار:
مجال الثقة:
مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود و
أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال ( - 1 ), بمعنى ( -1 .100% ) من كل قيم X التي ستقع في هذا المجال و (.100% ) ستقع خارج المجال ( - 1 ) يشار عادة كدرجة ثقة.
للقيم المعروفة من القيمة المتوقعة من X, يبنى المجال لجعل احتمال X يقع خارج هذه المنطقة ( توجد منطقتين) مع الاحتمال 2 /
ندعو المجال
() = ( )
مجال الثقة المتناظر مع درجة الثقة .
- 1 =( P )
لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة يقاس عادة بالجداء من
مجال الثقة له الصيغة
X c -
اذا المتغير العشوائي X هو N(
) عندئذ لأجل c + x=
الصيغ التالية:
و P(Z
z ) =
(z) = 1 -
/2 .
القيمة الحرجة للاحتمال /2 - 1 يتم الحصول عليه من قيم الجدول للتوزيع الطبيعي المعياري .
باستعمال هذه القيم نحصل على مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:
والاحتمال "لهذا المجال":
مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:
أي:
.
لأجل z المعطاة نحسب درجات الثقة للمجال:
من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة - 1
مثال: