التباديل

$n$ المحتواة كل العناصر $n$ بالتباديل لهذه العناصر, وبتباديل العناصر المختلفة لنفس المجموعة نحصل على نتائج مختلفة.

يوجد ثلاثة أنواع من التباديل :

التباديل بدون اعادة

التباديل بدون اعادة هو التباديل التي فيها كل عنصر محتوى مرة واحدة ولذلك كل العناصر $n$ مختلفة . يرمز عدد التباديل بدون اعادة من الأن فصاعدا بواسطة $P(n)$ :

$P(n)=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=n\,!$

أمثلة  :

لعنصرين مختلفين ( $P(2)=1\cdot 2=2\,!=2.$. بطبيعة الحال , التبديلين الممكنين هما :

$P(3)=1\cdot 2\cdot 3=3\,!=6$. كل التباديل الستة الممكنة تبدو كالتالي:

$g$ عناصر متماثلة بين كل العناصر $n$ في التباديل . يرمز عدد التباديل الممكنة مع الاعادة $n$ عنصر $P(n;g)$ وسيحدد بواسطة الصيغة التالية :

$P(n;g)={\frac {n\,!}{g\,!}}\qquad g\leq n$.

حيث $g$ عدد العناصر المتماثلة (حجم مجموعتهم).

الأمثلة  :

أولا  : نعتبر مرة أخرى حالة عنصرين:

لعنصرين مختلفين ($P(2)=2\,!/1\,!=2$ (الذي تماما مثل التباديل بدون اعادة):

$P(2;2)=2\,!/2\,!=1$ . التبديل المحتمل الوحيد بالطبع :

$g=1$ (نفسه كتباديل بدون اعادة ) , $g=2$( نفس العنصرين , بينما الثالث مختلف ) أو $g=3$ (جميع العناصر الثلاثة نفسها):

لأجل $g=1$ المجموعة المؤلفة بواسطة $P(3)=3\,!/1\,!=6.$.

كل التباديل الستة كالتالي :

لأجل $g=2$ ($P(3;2)=3\,!/2\,!=3.$ والتبديل الممكن الوحيد هو :

لأجل $g=3$ ($P(3;3)=3\,!/3\,!=1$ والتبديل الممكن الوحيد هو :

لذلك نقول بأن التباديل بدون اعادة هو حالة خاصة من التباديل مع الاعادة . التباديل مع الاعادة عندئذ هو حالة خاصة من التباديل مع المجموعات الأكثر من العناصر المتماثلة .

التباديل مع المجموعات الأكثر للعناصر المتماثلة

لتباديل هذا النوع من الممكن وجود مجموعات كثيرة (مختلفة) للعناصر المتماثلة ما بين كل العناصر $n$ للتباديل . لأجل $r$ مجموعة , عدد التباديل هو:

$P(n;g_{1},\dots ,g_{r})={\frac {n\,!}{g_{1}\,!\cdot g_{2}\,!\cdot \dots \cdot g_{r}\,!}}$

حيث تمثل $g_{i}$ حجم المجموعة وتشمل بأن $g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots +g_{r}\leq n$