الاستقلال

$X$ و $Y$ بواسطة نظرية الضرب $A$ و $B$ مستقلين ,عندئذ احتمال حدوث هذين الحدثين يساوي حاصل ضرب دوال احتمالاتهم .

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

نعتبر الحوادث: $A=\{X=x_{i}\}$ و $B=\{Y=y_{j}\}$ . نعرف استقلال المتغيرين العشوائيين ($X$ و $Y$ مستقلة احصائيا اذا :

$P(X=x_{i},Y=y_{j})=P(X=x_{i})\cdot p(Y=y_{j})$

أو يساوي:

$f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})$

لكل الأزواج $(x_{i},y_{j})$ هي النتائج الممكنة للمتغيرات العشوائية $X$ و $Y$.

يكون المتغير العشوائي مرتبط اذا وجد على الأقل زوج من النقاط $(x_{i},y_{j})$ عندها التوزيع المشترك لا يحلل.

نعرف استقلال متغيرين عشوائيين مستمرين بطريقة مشابهة .

المتغيرين العشوائيين المستمرين $X$ و $Y$ مستقلين اذا توابع كثافتهم $f(x)$ و $f(y),$ تعطى كالتالي:

$f(x,y)=f(x)\cdot f(y)$

لكل القيم $(x,y)$ على الخط الحقيقي .

التوزيع الشرطي

نعرف $P(X=x_{i}\vert Y=y_{j})$ احتمال المتغير العشوائي المنقطع $X$ مساوي الى $x_{i}$ بشرط $Y$ مساوية الى $y_{j}$. بشكل مشابه نعرف بواسطة $P(Y=y_{j}\vert X=x_{i})$ احتمال $Y$ مساوي الى $y_{j}$ بشرط $X=x_{i}$

تقترح نظرية الاحتمال البسيطة

$P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\$ و

$P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

مع المتغيرات العشوائية المنقطعة لأجل $A=\{X=x_{i}\}$ و $B=\{Y=y_{j}\}$ نحصل:

${\frac {P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(Y=y_{j})}}$$=$$P(X=x_{i}\vert Y=y_{j})$

${\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}=f(x_{i}\vert y_{j})$$=$

${\frac {P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(X=x_{i})}}$$=$$P(Y=y_{j}\vert X=x_{i})$

${\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}=f(y_{j}\vert x_{i})$$=$

بشكل مشابه , للمتغيرات العشوائية المستمرة :

$f(x\vert y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}$

$f(y\vert x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}$

لأجل توابع التوزيع الشرطية نحصل على ما يلي  :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \fin 4:1»): {\displaystyle F(x\vert y)=\frac{F(x,y)}{F(y)}=\left\{ \begin{array}{c} \f... ...}X\ \text{\rm and}\ Y\text{\rm continuous} \end{array}\right. }

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \fin 4:1»): {\displaystyle F(y\vert x)=\frac{F(x,y)}{F(x)}=\left\{ \begin{array}{c} \f... ...}X\ \text{\rm and}\ Y\text{\rm continuous} \end{array}\right. }