الاحتمال الشرطي والحوادث المستقلة

$A$ و $B$ على فضاء العينة $S$, يعرف الاحتمال الشرطي للحادث $A$ بشرط $B$ كالتالي  :

$P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},$ حيث $P(B)>0$

نفترض الاحتمال الشرطي بأن $B$ يقع ونسأل ما هو الاحتمال لوقوع $A$. بافتراض أن $B$ وقع , نعرف فضاء العينة الجديد $S=B$ ونقيس الاحتمال الجديد $P(A\vert B)$

اذا $B=A_{2}\cap A_{3}$ عندئذ نكتب

$P(A_{1}\vert A_{2}\cap A_{3})={\frac {P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{2}\cap A_{3})}},{\text{ for }}P(A_{2}\cap A_{3})>0$

سنعرف أيضا الاحتمال الشرطي للحادث $B$ بشرط $A$

$P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},$ حيث $P(A)>0$

قاعدة الضرب

باعادة تعريف الاحتمال الشرطي نستخلص الصيغة لاحتمال الحادثين $A$ و $B$

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$

وبطريقة مشابهة

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\vert A_{1})\cdot P(A_{3}\vert A_{1}\cap A_{2})$

لأجل الحوادث $A_{2},A_{2},\ldots A_{n}$ لدينا:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \cdoin 1:78»): {\displaystyle P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n}=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\vert A_{1})\cdo... ... A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}\vert A_{1}\cdot\ldots\cdots A_{n-1}) }

$P(A)\neq P(A\vert B)$

الحالة $P(A)=P(A\vert B)$ لها تغير هام . اذا بقي الاحتمال $A$ يحدث نفسه , سواء لم يقع $B$ , نقول بأن الحادثين مستقلين احصائيا. (على سبيل المثال معرفة الفرد فيما اذا طويل أو قصير لا يؤثر على تقييمه لظهور سرطان الرئة.)

نعرف الاستقلال العشوائي للحادثين $A$ و $B$ بواسطة الشرط

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

والذي يشير للشروط التالية

$P(A)=P(A\vert B)$

$P(B)=P(B\vert A)$

$P(A\vert B)=P(A\vert {\overline {B}})$

$P(B\vert A)=P(B\vert {\overline {A}})$

يعرف شرط الضرب الاستقلال العشوائي للحادثين كما يصح ذلك للحوادث المستقلة $n$  :

$P(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n})=P(A_{1})\cdot \ldots \cdot P(A_{n})$

لانشاء الاستقلال الاحصائي للحوادث $n$ , نضمن قاعدة الضرب تصلح لأي مجموعة ثانوية من الحوادث . ذلك يعني

$P\left(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{m}}\right)=P\left(A_{i_{1}}\right)\cdot \ldots \cdot P\left(A_{i_{m}}\right),$ لأجل $i_{1},\ldots ,i_{m}$ , $<n$ عدد صحيح ملحوظ

من المهم عدم خلط الاستقلال العشوائي مع الخاصة التبادلية . على سبيل المثال , اذا الحادثين $A$ و $B$ مع $P(A)>0$ و $P(B)>0$ ذو خاصة تبادلية عندئذ $P(A\cap B)=0$ كما $P(\emptyset )=0$ و $A\cap B=\emptyset$ في الحالة $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$ .

الجداول التقاطعية ثنائية الاتجاه

يهتم الباحث في العديد من التطبيقات بالارتباط بين متغيرين مصنفين . الحالة الأبسط اذا لاحظنا المتغيرات الثنائية بمعنى : هناك متغيرين , كل واحد بنتيجتين ممكنتين . على سبيل المثال , نفترض لفرد مختار عشوائيا اذا لم يدخن وليس عنده انتفاخ الرئة . نرمز $A$ لنتيجة الفرد المدخن و $B$ لنتيجة عنده انتفاخ الرئة . ننشئ فضاءات العينة المنفصلة $\left\{A,{\overline {A}}\right\}$ و $\left\{B,{\overline {B}}\right\}$. لكل من المتغيرين . سننشئ بالتناوب فضاء العينة للأزواج المرتبة :

$S=\left\{\left(A,B\right),\left(A,{\overline {B}}\right),\left({\overline {A}},B\right),\left({\overline {A}},{\overline {B}}\right)\right\}$

بتبويب البيانات بهذا النوع , سنحسب ببساطة عدد الأفراد المطابق لكل من النتائج الأربعة الرئيسية . لا معلومات مفقودة بخصوص المتغيرين بشكل منفرد لأننا نحصل على التكرارات لكلا الصنفين لكلا المتغير بالجمع لصنفي المتغير الأخر . على سبيل المثال , لحساب عدد الأفراد الذين لديهم انتفاخ الرئة , نجمع كل الأفراد المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, $(A,B)$ ) وكل الأفراد غير المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, $(A,{\overline {B}})$ ) .تدعى التكرارات النسبية لأصناف المتغيرات المفردة بالتكرارات النسبية الهامشية .

تعرض $(r\times c)$ بالجدول التقاطعي , حيث تشير $r$ و $c$ لعدد الأصناف الملاحظة لكل متغير . في مثالنا مع صنفين لكل متغير, لدينا الجدول التقاطعي $(2\times 2)$.

نلخص الاحتمالات المرتبطة بكل نتيجة رئيسية في الجدول التالي :

	$B$	${\overline {B}}$	المجموع
$A$	$P(A\cap B)$	$P(A\cap {\overline {B}})$	$P(A)$
$\ {\overline {A}}$	$P({\overline {A}}\cap B)$	$P({\overline {A}}\cap {\overline {B}})$	$P({\overline {A}})$
المجموع	$P(B)$	$P({\overline {B}})$	$P(S)=1$

تساعد بنية هذا الجدول بشكل واضح في فحص الاستقلال بين الحوادث . نستدعي الاحتمال المشترك للحادثين المستقلين المحسوب كنتيجة الاحتمالات للحادثين المنفردين . في هذه الحالة , نريد التحقق فيما اذا الاحتمالات المشتركة في الجسم الرئيسي للجدول مساوية لنتائج الاحتمالات الهامشية . اذا لم تكن عندئذ الحوادث ليست مستقلة . على سبيل المثال تحت شرط الاستقلال لدينا:

$\ P(A)\,P(B)=P(A\cap B)$

اذا استبدلنا الاحتمالات في الجدول أعلاه مع تكراراتهم البسيطة , عندئذ يشير الاستقلال بأن الاحتمالات المشتركة المقدرة ستكون مساوية تقريبا لنتائج الاحتمالات الهامشية المقدرة . الاجراءات الأساسية لاختبار الاستقلال ستناقش لاحقا .