الفرق بين المراجعتين لصفحة: «الاحتمال الشرطي والحوادث المستقلة»
من MM*Stat Arabisch
(Die Seite wurde neu angelegt: „الاحتمال الشرطي والحوادث المستقلة,الشرح : الجداول التقاطعية الثنائية التصنيف,الش…“) |
لا ملخص تعديل |
||
سطر ١: | سطر ١: | ||
<math> A</math> و <math> B</math> على فضاء العينة <math> S</math>, يعرف الاحتمال الشرطي للحادث <math> A</math> بشرط <math> B</math> كالتالي : | |||
<math> P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},</math> حيث <math> P(B)>0 | |||
</math> | |||
نفترض الاحتمال الشرطي بأن <math> B</math> يقع ونسأل ما هو الاحتمال لوقوع <math> A</math>. بافتراض أن <math> B</math> وقع , نعرف فضاء العينة الجديد <math> S=B</math> ونقيس الاحتمال الجديد <math> P(A\vert B)</math> | |||
اذا <math> B=A_{2}\cap A_{3}</math> عندئذ نكتب | |||
<math> P(A_{1}\vert A_{2}\cap A_{3})=\frac{P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{2}\cap | |||
A_{3})},\text{ for }P(A_{2}\cap A_{3})>0 | |||
</math> | |||
سنعرف أيضا الاحتمال الشرطي للحادث <math> B</math> بشرط <math> A</math> | |||
<math> P(B\vert A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},</math> حيث | |||
<math> P(A)>0 | |||
</math> | |||
سطر ٣٦: | سطر ٢٩: | ||
باعادة تعريف الاحتمال الشرطي نستخلص الصيغة لاحتمال الحادثين | باعادة تعريف الاحتمال الشرطي نستخلص الصيغة لاحتمال الحادثين <math> A</math> و <math> B</math> | ||
<math> P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B) | |||
</math> | |||
سطر ٤٥: | سطر ٣٩: | ||
<math> P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\vert A_{1})\cdot P(A_{3} | |||
\vert A_{1}\cap A_{2}) | |||
</math> | |||
لأجل الحوادث | لأجل الحوادث <math> A_{2},A_{2},\ldots A_{n}</math> لدينا: | ||
<math> P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n}=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\vert A_{1})\cdo... | |||
... A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}\vert A_{1}\cdot\ldots\cdots A_{n-1}) | |||
</math> | |||
<math> P(A)\neq P(A\vert B)</math> | |||
( | |||
الحالة | الحالة <math> P(A)=P(A\vert B)</math> لها تغير هام . اذا بقي الاحتمال <math> A</math> يحدث نفسه , سواء لم يقع <math> B</math> , نقول بأن الحادثين مستقلين احصائيا. (على سبيل المثال معرفة الفرد فيما اذا طويل أو قصير لا يؤثر على تقييمه لظهور سرطان الرئة.) | ||
نعرف الاستقلال العشوائي للحادثين | نعرف الاستقلال العشوائي للحادثين <math> A</math> و <math> B</math> بواسطة الشرط | ||
<math> P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math> | |||
سطر ٨١: | سطر ٧٠: | ||
<math> P(A)=P(A\vert B)</math> | |||
<math> P(B)=P(B\vert A)</math> | |||
<math> P(A\vert B)=P(A\vert\overline{B})</math> | |||
<math> P(B\vert A)=P(B\vert\overline{A})</math> | |||
يعرف شرط الضرب الاستقلال العشوائي للحادثين كما يصح ذلك للحوادث المستقلة | يعرف شرط الضرب الاستقلال العشوائي للحادثين كما يصح ذلك للحوادث المستقلة <math> n</math> : | ||
<math> P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}) | |||
</math> | |||
لانشاء الاستقلال الاحصائي للحوادث | لانشاء الاستقلال الاحصائي للحوادث <math> n</math> , نضمن قاعدة الضرب تصلح لأي مجموعة ثانوية من الحوادث . ذلك يعني | ||
<math> P\left( A_{i_{1}}\cap\ldots\cap A_{i_{m}}\right) =P\left( A_{i_{1}}\right) | |||
\cdot\ldots\cdot P\left( A_{i_{m}}\right) ,</math> لأجل <math> i_{1},\ldots | |||
,i_{m}</math> , <math> <n | |||
</math> | |||
عدد صحيح ملحوظ | عدد صحيح ملحوظ | ||
من المهم عدم خلط الاستقلال العشوائي مع [[الخاصة التبادلية ]]. على سبيل المثال , اذا الحادثين | من المهم عدم خلط الاستقلال العشوائي مع [[الخاصة التبادلية ]]. على سبيل المثال , اذا الحادثين <math> A</math> و <math> B</math> مع <math> P(A)>0</math> و <math> P(B)>0</math> ذو خاصة تبادلية عندئذ <math> P(A\cap B)=0</math> كما <math> P(\emptyset)=0</math> و <math> A\cap B=\emptyset</math> في الحالة <math> P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)</math> . | ||
سطر ١١٧: | سطر ١١٠: | ||
يهتم الباحث في العديد من التطبيقات بالارتباط بين متغيرين مصنفين . الحالة الأبسط اذا لاحظنا المتغيرات الثنائية بمعنى : هناك متغيرين , كل واحد بنتيجتين ممكنتين . على سبيل المثال , نفترض لفرد مختار عشوائيا اذا لم يدخن وليس عنده انتفاخ الرئة . | يهتم الباحث في العديد من التطبيقات بالارتباط بين متغيرين مصنفين . الحالة الأبسط اذا لاحظنا المتغيرات الثنائية بمعنى : هناك متغيرين , كل واحد بنتيجتين ممكنتين . على سبيل المثال , نفترض لفرد مختار عشوائيا اذا لم يدخن وليس عنده انتفاخ الرئة . | ||
نرمز | نرمز <math> A</math> لنتيجة الفرد المدخن و <math> B</math> لنتيجة عنده انتفاخ الرئة . ننشئ فضاءات العينة المنفصلة <math> \left\{ | ||
A,\overline{A}\right\} </math> و <math> \left\{ B,\overline{B}\right\} </math>. لكل من المتغيرين . سننشئ بالتناوب فضاء العينة للأزواج المرتبة : | |||
<math> S=\left\{ \left( A,B\right) ,\left( A,\overline{B}\right) ,\left( | |||
\overline{A},B\right) ,\left( \overline{A},\overline{B}\right) \right\} | |||
</math> | |||
بتبويب البيانات بهذا النوع , سنحسب ببساطة عدد الأفراد المطابق لكل من النتائج الأربعة الرئيسية . | بتبويب البيانات بهذا النوع , سنحسب ببساطة عدد الأفراد المطابق لكل من النتائج الأربعة الرئيسية . | ||
لا معلومات مفقودة بخصوص المتغيرين بشكل منفرد لأننا نحصل على التكرارات لكلا الصنفين لكلا المتغير بالجمع لصنفي المتغير الأخر . على سبيل المثال , لحساب عدد الأفراد الذين لديهم انتفاخ الرئة , نجمع كل الأفراد المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, | لا معلومات مفقودة بخصوص المتغيرين بشكل منفرد لأننا نحصل على التكرارات لكلا الصنفين لكلا المتغير بالجمع لصنفي المتغير الأخر . على سبيل المثال , لحساب عدد الأفراد الذين لديهم انتفاخ الرئة , نجمع كل الأفراد المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, <math> (A,B)</math> ) وكل الأفراد غير المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, <math> (A,\overline{B})</math> ) .تدعى التكرارات النسبية لأصناف المتغيرات المفردة بالتكرارات النسبية الهامشية . | ||
تعرض | تعرض <math> (r\times c)</math> بالجدول التقاطعي , حيث تشير <math> r</math> و <math> c</math> لعدد الأصناف الملاحظة لكل متغير . في مثالنا مع صنفين لكل متغير, لدينا الجدول التقاطعي <math> (2\times2)</math>. | ||
سطر ١٤٠: | سطر ١٣٤: | ||
| | | | ||
| | |<math> B</math> | ||
| | |<math> \overline{B}</math> | ||
| المجموع | | المجموع | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math> | ||
| | |<math> P(A\cap B)</math> | ||
| | |<math> P(A\cap\overline{B})</math> | ||
| | |<math> P(A)</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> \ \overline{A}</math> | ||
| | |<math> P(\overline{A}\cap B)</math> | ||
| | |<math> P(\overline{A}\cap\overline{B})</math> | ||
| | |<math> P(\overline{A})</math> | ||
|- | |- | ||
| المجموع | | المجموع | ||
| | |<math> P(B)</math> | ||
| | |<math> P(\overline{B})</math> | ||
| | |<math> P(S)=1</math> | ||
|} | |} | ||
سطر ١٧٥: | سطر ١٦٩: | ||
<math> \ P(A)\,P(B)=P(A\cap B)</math> | |||
مراجعة ١٦:٣١، ٣١ يوليو ٢٠٢٠
و على فضاء العينة , يعرف الاحتمال الشرطي للحادث بشرط كالتالي :
حيث خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:21»): {\displaystyle P(B)>0 }
نفترض الاحتمال الشرطي بأن يقع ونسأل ما هو الاحتمال لوقوع . بافتراض أن وقع , نعرف فضاء العينة الجديد ونقيس الاحتمال الجديد
اذا عندئذ نكتب
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 2:39»): {\displaystyle P(A_{1}\vert A_{2}\cap A_{3})=\frac{P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{2}\cap A_{3})},\text{ for }P(A_{2}\cap A_{3})>0 }
سنعرف أيضا الاحتمال الشرطي للحادث بشرط
حيث
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:21»): {\displaystyle P(A)>0 }
باعادة تعريف الاحتمال الشرطي نستخلص الصيغة لاحتمال الحادثين و
وبطريقة مشابهة
لأجل الحوادث لدينا:
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \cdoin 1:78»): {\displaystyle P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n}=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\vert A_{1})\cdo... ... A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}\vert A_{1}\cdot\ldots\cdots A_{n-1}) }
الحالة لها تغير هام . اذا بقي الاحتمال يحدث نفسه , سواء لم يقع , نقول بأن الحادثين مستقلين احصائيا. (على سبيل المثال معرفة الفرد فيما اذا طويل أو قصير لا يؤثر على تقييمه لظهور سرطان الرئة.)
نعرف الاستقلال العشوائي للحادثين و بواسطة الشرط
والذي يشير للشروط التالية
يعرف شرط الضرب الاستقلال العشوائي للحادثين كما يصح ذلك للحوادث المستقلة :
لانشاء الاستقلال الاحصائي للحوادث , نضمن قاعدة الضرب تصلح لأي مجموعة ثانوية من الحوادث . ذلك يعني
لأجل , خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:17»): {\displaystyle <n }
عدد صحيح ملحوظ
من المهم عدم خلط الاستقلال العشوائي مع الخاصة التبادلية . على سبيل المثال , اذا الحادثين و مع خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:21»): {\displaystyle P(A)>0}
و خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:21»): {\displaystyle P(B)>0}
ذو خاصة تبادلية عندئذ كما و في الحالة .
الجداول التقاطعية ثنائية الاتجاه
يهتم الباحث في العديد من التطبيقات بالارتباط بين متغيرين مصنفين . الحالة الأبسط اذا لاحظنا المتغيرات الثنائية بمعنى : هناك متغيرين , كل واحد بنتيجتين ممكنتين . على سبيل المثال , نفترض لفرد مختار عشوائيا اذا لم يدخن وليس عنده انتفاخ الرئة . نرمز لنتيجة الفرد المدخن و لنتيجة عنده انتفاخ الرئة . ننشئ فضاءات العينة المنفصلة و . لكل من المتغيرين . سننشئ بالتناوب فضاء العينة للأزواج المرتبة :
بتبويب البيانات بهذا النوع , سنحسب ببساطة عدد الأفراد المطابق لكل من النتائج الأربعة الرئيسية .
لا معلومات مفقودة بخصوص المتغيرين بشكل منفرد لأننا نحصل على التكرارات لكلا الصنفين لكلا المتغير بالجمع لصنفي المتغير الأخر . على سبيل المثال , لحساب عدد الأفراد الذين لديهم انتفاخ الرئة , نجمع كل الأفراد المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, ) وكل الأفراد غير المدخنين ولديهم انتفاخ الرئة . (بمعنى, ) .تدعى التكرارات النسبية لأصناف المتغيرات المفردة بالتكرارات النسبية الهامشية .
تعرض بالجدول التقاطعي , حيث تشير و لعدد الأصناف الملاحظة لكل متغير . في مثالنا مع صنفين لكل متغير, لدينا الجدول التقاطعي .
نلخص الاحتمالات المرتبطة بكل نتيجة رئيسية في الجدول التالي :
المجموع | |||
المجموع |
تساعد بنية هذا الجدول بشكل واضح في فحص الاستقلال بين الحوادث . نستدعي الاحتمال المشترك للحادثين المستقلين المحسوب كنتيجة الاحتمالات للحادثين المنفردين . في هذه الحالة , نريد التحقق فيما اذا الاحتمالات المشتركة في الجسم الرئيسي للجدول مساوية لنتائج الاحتمالات الهامشية . اذا لم تكن عندئذ الحوادث ليست مستقلة . على سبيل المثال تحت شرط الاستقلال لدينا:
اذا استبدلنا الاحتمالات في الجدول أعلاه مع تكراراتهم البسيطة , عندئذ يشير الاستقلال بأن الاحتمالات المشتركة المقدرة ستكون مساوية تقريبا لنتائج الاحتمالات الهامشية المقدرة . الاجراءات الأساسية لاختبار الاستقلال ستناقش لاحقا .