الأمثلة لعناصر المتغيرات العشوائية الثنائية البعد

$X$) وعمر السيارات المقاسة بالسنوات (يعرف بالمتغير العشوائي $Y$). اختيرت فقط السيارات مابين 1 و3 سنوات لتدقيق أخر . تعطى توابع الكثافة الهامشية والمشتركة لهذه المتغيرات في الجدول التالي :

عدد المشاكل الميكانيكية ($X$ )	العمر ($Y$ )			التوزيع الهامشي $X$
	1	2	3
0	0.30	0.14	0.02	0.46
1	0.18	0.10	0.02	0.30
2	0.12	0.06	0.06	0.24
التوزيع الهامشي $Y$	0.60	0.30	0.10	1.00

القيم المتوقعة و التباينات للتوزيعات الهامشية :

$E(X)=0\cdot 0.46+1\cdot 0.3+2\cdot 0.24=0.78,\quad Var(X)=0\cdot 0.46+1\cdot 0.3+4\cdot 0.24-0.78^{2}=0.6516$

$E(Y)=1\cdot 0.6+2\cdot 0.3+3\cdot 0.1=1.5\,,\quad Var(Y)=1\cdot 0.6+4\cdot 0.3+9\cdot 0.1-1.5^{2}=0.45$

بالمتوسط احتمال السيارة لها مشكلة ميكانيكية هو 0.78 مع تباين 0.65 .

متوسط العمر للسيارة هو 1.5 سنة مع تباين 0.45

يحسب التباين المشترك ومعامل الارتباط كالتالي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \cin 1:80»): {\displaystyle E(XY)=0\cdot 1\cdot 0.3+0\cdot 2\cdot 0.14+0\cdot 3\cdot 0.02+1\c... ...cdot 3\cdot 0.02+2\cdot 1\cdot 0.12+2\cdot 2\cdot 0.06+2\cdot 3\cdot 0.06=1.28 }

$Cov(X,Y)=1.28-0.78\cdot 1.5=0.11\,,\quad \rho (X,Y)=0.11/(0.6516\cdot 0.45)^{0.5}=0.2031$

ذلك يعني بأن عدد المشاكل الميكانيكية وعمر السيارة مرتبطان بشكل ايجابي.

المثال لمتغيرين عشوائيين مستمرين :

نعتبر المتغيرين العشوائيين المستمرين $X$ و $Y$ مع الكثافة المشتركة:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \texin 4:27»): {\displaystyle f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{x+3y}{2}\quad & \tex... ...rm and }0<y<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise} \end{array}\right. }

والتوزيعات الهامشية

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{array}in 3:1»): {\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{x}{2}+\frac{3}{4}\quad... ...rm for }0<x<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise} \end{array}\right. }

و

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \quain 4:25»): {\displaystyle f(y)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{3y}{2}+\frac{1}{4}\qua... ...m for }0<y<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise.} \end{array}\right. }

القيمة المتوقعة و التباين

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "}" found.in 2:6»): {\displaystyle \int_0^1 x \left( \frac{x}{2} + \frac{3}{4} \right) \, dx = \left... ...^3}{6} + \frac{3x^2}{8} \right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{13}{24}} $=$ $E(X)$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \lefin 2:1»): {\displaystyle \int_0^1 y \left( \frac{3y}{2} + \frac{1}{4} \right) \, dy = \lef... ...c{y^3}{2} + \frac{y^2}{8} \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}} $=$ $E(Y)$

$\int _{0}^{1}x^{2}\left({\frac {x}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)\,dx+\leq ......0^{1}+\left({\frac {13}{24}}\right)^{2}={\frac {3}{8}}+{\frac {169}{576}}=0,\,6684$ $=$ $Var(X)$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \lin 2:1»): {\displaystyle \int_0^1 y^2 \left( \frac{3y}{2} + \frac{1}{4} \right) \, dy + \l... ...] _0^1 + \left( \frac{5}{8} \right)^2 = \frac{11}{24} + \frac{25}{64} = 0,\,849} $=$ $Var(Y)$

التباين المشترك:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}xy\left({\frac {x+3y}{2}}\right)\,dx\,dy-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)$ $=$ $Cov(X,Y)$

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x^{2}y+3xy^{2})\,dx\,dy-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)$ $=$

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left[{\frac {x^{2}y^{2}}{2}}+xy^{3}\right]_{0}^{1}\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)$ $=$

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left({\frac {x^{2}}{2}}+x\right)\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)$ $=$

$\left[{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)$ $=$

${\frac {1}{3}}-{\frac {65}{192}}=-{\frac {1}{192}}$ $=$

معامل الارتباط:

$\rho (X,Y)={\frac {-{\frac {1}{192}}}{\sqrt {0,6684\cdot 0,849}}}=-0,007$