عرض مصدر اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين

[[اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين]],[[المثال الداعم  لاختبار الفرق بين متوسطي المجتمعين]]




[[صورة:H100.gif]]      '''9.4 اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين'''



لاختبار العنصر المجهول الأن  هو فرق التوقع لمجتمعين منفصلين <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math>  , ستبنى اختبارات عنصرنا  على العينات الفردية  من هذين المجتمعين.
  
توجد عدة طرق منفصلة  لبناء الاختبارات  للفرق بين توقعات المجتمعين , سيبنى اختبارنا على الفروض التالية: 


*يوجد مجتمعين , يشاهد المتغير العشوائي  في المجتمع الأول <math>X_{1}</math>  له  التوقع <math>E\left( X_{1}\right)=\mu_{1}</math> والتباين <math>Var \left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2}</math>

تشاهد عناصر  المتغير العشوائي  في المجتمع الثاني <math>X_{2}</math>

<math>E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}</math>  و <math>Var\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}</math>,

نختبر للاختلاف في قيمهم المتوقعة  على اعتبار <math>\mu_{1}</math> و <math>\mu_{2}</math> مجهولان.


*حجما المجتمعين <math>N_{1}</math> و <math>N_{2}</math>  كبيران بشكل كافي  لبناء اجراءات  الاختبار  على العينات العشوائية البسيطة المسحوبة  بدون اعادة.

يشار لأحجام العينات  بواسطة <math>n_{1}</math> و <math>n_{2}</math> على التوالي


*العينتين مستقلتين .
 
*وكلا المتغيرين العشوائيين <math>X_{1}</math>  و <math>X_{2}</math>  لهما  التوزيع الطبيعي <math>X_{1}\sim N\left( \mu_{1};\;\sigma_{1}\right)</math> و <math>X_{2}\sim N\left( \mu_{2};\;\sigma_{2}\right)</math> 

أو توزيعاتهم ستقرب بشكل كافي  بواسطة التوزيع الطبيعي  عبر [[نظرية الحد المركزية]]. أحجام العينتين <math>n_{1}</math> و <math>n_{2}</math> كبيرة  بما فيه الكفاية.



[[صورة:H100.gif]]      ''' الفرضيات '''



اعتمادا على التطبيقات  ستكتب الاختبارات الثنائية  أو الأحادية الجانب:


1-الاختبار الثنائي الجانب :



<math>H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} = \omega_{0}\quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} \neq \omega_{0}</math>



2-الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:



<math>H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} \leq \omega_{0} \quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} > \omega_{0}</math>



3-الاختبار الأحادي الجانب الأيسر:


<math>H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} \geq \omega_{0} \quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} < \omega_{0}</math>



 

[[صورة:H100.gif]]      ''' الاختبار الاحصائي  وتوزيعه , مجالات القرار ''' 


شاهدنا سابقا  بأن [[تقدير]] الفرق  للمتوسطين:


<math>D=\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}</math>


حيث : <math>X_{1}</math> و  <math>X_{2}</math> متوسطي العينتين  ذلك يعني:



<math>\overline{X}_{1}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\;X_{1i}\quad \overline{X}_{2}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\;X_{2i}</math>



له التوزيع  الطبيعي مع التوقع  <math>E\left( D\right) =\omega =\mu_{1}-\mu_{2}</math>. 

يتضمن استقلال [[متغيرات العينة]]  تباين متوسط العينة  وهو فرق التباينات  لمتوسطي العينتين .


<math>Var\left( D\right) =\sigma_{D}^{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}</math>


نفرض <math>\omega_{0}</math> هو البعد الحقيقي ما بين توقعات المجتمع <math>\omega = \omega_{0}</math>

عندئذ <math>D</math> تتبع التوزيع الطبيعي  مع التوقع <math>E(D) = \omega_{0}</math> والتباين <math>\sigma_{D}^{2}</math>.


لبناء  [[الاختبار الاحصائي]]  المناسب , سنصنع نفس الفرق  المبني على معرفتنا حول
الانحرافات المعيارية <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math>

كما في حالة العينة الأحادية. دعنا نبدأ مع الافتراض البسيط : نعرف الانحرافات  المعيارية  في كلا المجتمعين  <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math>.


'''الانحرافات المعيارية  المعلومة <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math>: '''


اذا عرفنا <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math>, التوزيع <math>D</math> محدد تماما كما في الأعلى , ونستطيع  معايرة <math>D</math> لضمان  تطبيق  الجداول العددية  للتوزيع الطبيعي المعياري.


<math>V=\frac{D-\omega_{0}}{\sigma_{D}}=\frac{\left( \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}</math>



تحت الفرضية <math>H_{0}</math>, <math>V</math> له  التوزيع الطبيعي  المعياري  (على الأقل تجريبي).

وسيستخدم  جدول القيم العددية  للتوزيع الطبيعي المعياري  التجميعي  لتحديد القيم الحرجة. تترجم هذه الربيعات  الطبيعية  لمجالات القرارات التالية  لأجل الاختبارات  عند [[مستوى الدلالة]]<math>\alpha</math> 



{|border="1"
| الاختبار 
|مجال الرفض لأجل<math>H_{0}</math>
|مجال القبول لأجل  der <math>H_{0}</math>
|-
|الاختبار  الثنائي الجانب
|<math>\left\{ v|v<-z_{1-\alpha/2}\mbox{ oder } v>z_{1-\alpha/2}\right\}</math>
|<math>\left\{v|-z_{1-\alpha /2}\leq v\leq z_{1-\alpha /2}\right\}</math>
|-
|الأحادي الجانب الأيمن
|<math>\left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\}</math>
|<math>\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}</math>
|-
|الأحادي الجانب الأيسر 
|<math>\left\{v|v<z_{-1-\alpha }\right\}</math>
|<math>\left\{v|v\geq-z_{1-\alpha }\right\}</math>
|}




  
'''الانحرافات المعيارية المجهولة <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math> :'''



علينا تقدير الكميات المجهولة <math>\sigma_{1}</math> و <math>\sigma_{2}</math> باستعمال حدود العينة:


<math>S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\;\sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{1i}-\overline{X}_{1}\right)^{2},\quad S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\;\sum_{i=1}^{n_{2}}\left(X_{2i}-\overline{X}_{2}\right)^{2}</math>



نفرض تجانس التباينات , بمعنى  المتغير العشوائي   له نفس التباين <math>\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}</math> في كلا المجتمعين .

تابع التقدير <math>S^{2}</math> للتباين المشترك <math>\sigma^{2}</math> هو  الوسط الحسابي المثقل  لتقديري التباينين <math>S^{2}_{1}</math> و <math>S^{2}_{2}</math>:



<math>S^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2} +\left(n_{2}-1\right)\;S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}-2}</math>



لهذا  نكتب التقدير <math>S_{D}^{2}</math> الى <math>\sigma_{D}^{2}</math> كالتالي: 



<math>S_{D}^{2}=S^{2}\; \left( \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}\right)=\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}\; n_{2}}\;\frac{\left( n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2} +\left(n_{2}-1\right)\; S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}</math>



يحسب الاختبار الاحصائي <math>V</math>: عندئذ كالتالي: 



<math>V=\frac{D-\omega_{0}}{S_{D}}=\frac{\left(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}\;n_{2}}\;\frac{\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) \cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}</math>



وله توزيع-t  مع درجة الحرية  <math>f = n_{1} + n_{2} - 2</math>


تحت افتراض عدم تجانس التباينات <math>\sigma_{1}^{2}\neq \sigma_{2}^{2}</math> , سيقرب التقدير <math>S_{D}^{2}</math>كالتالي:


<math>S_{D}^{2}=\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}</math>


اقترح ويلز لبناء الاختبار الاحصائي  على هذا التقريب  واستعمل  :



<math>V=\frac{D-\omega_{0}}{S_{D}}=\frac{\left( \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right) -\omega_{0}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}</math>




كاختبار احصائي.

 
تحت الفرضية <math>H_{0}</math> , سيقرب  بواسطة  توزيع-t  مع درجة الحرية f المحسوبة  كالتالي: 



<math>f=\frac{\left( \frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\frac{1}{n_{1}-1}\;\left(\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}\right)^{2}+\frac{1}{n_{2}-1}\;\left(\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}</math>




في كلا الحالتين (تجانس وعدم تجانس التباينات) يمكن أخذ  القيم الحرجة  من جدول توزيع-t
  
يبين الجدول التالي مجالات  القرار المشتقة  لمواقف الاختبار الثلاثة  (لأجل مستوى  الدلالة <math>\alpha</math>) 


{|border="1"
|الاختبار 
|مجال الرفض لأجل<math>H_{0}</math>
|  مجال القبول لأجل <math>H_{0}</math>
|-
| الاختبار  الثنائي الجانب 
|<math>\left\{v|v<-t_{1-\alpha/2;n_{1}+n_{2}-2}\mbox{ oder } v>t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|<math>\left\{v|-t_{1-\alpha/2;n_{1}+n_{2}-2}\leq v\leq t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|-
|الاختبار الأحادي  الجانب الأيمن 
|<math>\left\{ v|v>t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|<math>\left\{ v|v\leq t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|-
|  الاختبار الأحادي الجانب الأيسر
|<math>\left\{v|v<t_{-1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|<math>\left\{v|v\geq -t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}</math>
|}


في كلا أحجام العينتين <math>n_{1}</math>  و <math>n_{2}</math>  كبيرة بشكل كافي  لتبرير تطبيق [[نظرية الحد المركزية]]  <math>n_{1}>30</math> و  <math>n_{2}>30</math>.

مجالات القرار  الناتجة مشابهة  لتلك في حالة التباينات المعلومة .



[[صورة:H100.gif]]      ''' العينة  وحساب الاختبار الاحصائي ''' 


على أساس العينة المشاهدة  , متوسطي العينتين <math>\overline{x}_{1}</math> و <math>\overline{x}_{2}</math>

واذا لزم يمكن حساب الانحرافات  المعيارية التجريبية <math>s_{1}</math>  و  <math>s_{2}</math> ,

باستبدال هذه القيم  لعبارة الاختبار الاحصائي  , نعطي  قيمة الاختبار الاحصائي  الفعلية <math>v</math>.



[[صورة:H100.gif]]      ''' قرار الاختبار والتعاريف''' 



تحمل  قرار الاختبار  والتعاريف  بشكل مشابه  كما في حالة  اختبار  متوسط العينة  الواحدة.