اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين

اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين,المثال الداعم لاختبار الفرق بين متوسطي المجتمعين

9.4 اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين

لاختبار العنصر المجهول الأن هو فرق التوقع لمجتمعين منفصلين $\mu _{1}-\mu _{2}$ , ستبنى اختبارات عنصرنا على العينات الفردية من هذين المجتمعين.

توجد عدة طرق منفصلة لبناء الاختبارات للفرق بين توقعات المجتمعين , سيبنى اختبارنا على الفروض التالية:

• يوجد مجتمعين , يشاهد المتغير العشوائي في المجتمع الأول $X_{1}$ له التوقع $E\left(X_{1}\right)=\mu _{1}$ والتباين $Var\left(X_{1}\right)=\sigma _{1}^{2}$

تشاهد عناصر المتغير العشوائي في المجتمع الثاني $X_{2}$

$E\left(X_{2}\right)=\mu _{2}$ و $Var\left(X_{2}\right)=\sigma _{2}^{2}$,

نختبر للاختلاف في قيمهم المتوقعة على اعتبار $\mu _{1}$ و $\mu _{2}$ مجهولان.

• حجما المجتمعين $N_{1}$ و $N_{2}$ كبيران بشكل كافي لبناء اجراءات الاختبار على العينات العشوائية البسيطة المسحوبة بدون اعادة.

يشار لأحجام العينات بواسطة $n_{1}$ و $n_{2}$ على التوالي

• العينتين مستقلتين .

• وكلا المتغيرين العشوائيين $X_{1}$ و $X_{2}$ لهما التوزيع الطبيعي $X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\;\sigma _{1}\right)$ و $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\;\sigma _{2}\right)$

أو توزيعاتهم ستقرب بشكل كافي بواسطة التوزيع الطبيعي عبر نظرية الحد المركزية. أحجام العينتين $n_{1}$ و $n_{2}$ كبيرة بما فيه الكفاية.

الفرضيات

اعتمادا على التطبيقات ستكتب الاختبارات الثنائية أو الأحادية الجانب:

1-الاختبار الثنائي الجانب :

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$

2-الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}$

3-الاختبار الأحادي الجانب الأيسر:

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}$

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

شاهدنا سابقا بأن تقدير الفرق للمتوسطين:

$D={\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}$

حيث : $X_{1}$ و $X_{2}$ متوسطي العينتين ذلك يعني:

${\overline {X}}_{1}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\;X_{1i}\quad {\overline {X}}_{2}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\;X_{2i}$

له التوزيع الطبيعي مع التوقع $E\left(D\right)=\omega =\mu _{1}-\mu _{2}$.

يتضمن استقلال متغيرات العينة تباين متوسط العينة وهو فرق التباينات لمتوسطي العينتين .

$Var\left(D\right)=\sigma _{D}^{2}={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

نفرض $\omega _{0}$ هو البعد الحقيقي ما بين توقعات المجتمع $\omega =\omega _{0}$

عندئذ $D$ تتبع التوزيع الطبيعي مع التوقع $E(D)=\omega _{0}$ والتباين $\sigma _{D}^{2}$.

لبناء الاختبار الاحصائي المناسب , سنصنع نفس الفرق المبني على معرفتنا حول الانحرافات المعيارية $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$

كما في حالة العينة الأحادية. دعنا نبدأ مع الافتراض البسيط : نعرف الانحرافات المعيارية في كلا المجتمعين $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$.

الانحرافات المعيارية المعلومة $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$:

اذا عرفنا $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$, التوزيع $D$ محدد تماما كما في الأعلى , ونستطيع معايرة $D$ لضمان تطبيق الجداول العددية للتوزيع الطبيعي المعياري.

$V={\frac {D-\omega _{0}}{\sigma _{D}}}={\frac {\left({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\right)-\omega _{0}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$, $V$ له التوزيع الطبيعي المعياري (على الأقل تجريبي).

وسيستخدم جدول القيم العددية للتوزيع الطبيعي المعياري التجميعي لتحديد القيم الحرجة. تترجم هذه الربيعات الطبيعية لمجالات القرارات التالية لأجل الاختبارات عند مستوى الدلالة$\alpha$

الاختبار	مجال الرفض لأجل$H_{0}$	مجال القبول لأجل der $H_{0}$
الاختبار الثنائي الجانب	$\left\{v|v<-z_{1-\alpha /2}{\mbox{ oder }}v>z_{1-\alpha /2}\right\}$	$\left\{v|-z_{1-\alpha /2}\leq v\leq z_{1-\alpha /2}\right\}$
الأحادي الجانب الأيمن	$\left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\}$	$\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}$
الأحادي الجانب الأيسر	$\left\{v|v<z_{-1-\alpha }\right\}$	$\left\{v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}$

الانحرافات المعيارية المجهولة $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$ :

علينا تقدير الكميات المجهولة $\sigma _{1}$ و $\sigma _{2}$ باستعمال حدود العينة:

$S_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\;\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{1i}-{\overline {X}}_{1}\right)^{2},\quad S_{2}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\;\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(X_{2i}-{\overline {X}}_{2}\right)^{2}$

نفرض تجانس التباينات , بمعنى المتغير العشوائي له نفس التباين $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ في كلا المجتمعين .

تابع التقدير $S^{2}$ للتباين المشترك $\sigma ^{2}$ هو الوسط الحسابي المثقل لتقديري التباينين $S_{1}^{2}$ و $S_{2}^{2}$:

$S^{2}={\frac {\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)\;S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

لهذا نكتب التقدير $S_{D}^{2}$ الى $\sigma _{D}^{2}$ كالتالي:

$S_{D}^{2}=S^{2}\;\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}\;n_{2}}}\;{\frac {\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)\;S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

يحسب الاختبار الاحصائي $V$: عندئذ كالتالي:

$V={\frac {D-\omega _{0}}{S_{D}}}={\frac {\left({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\right)-\omega _{0}}{\sqrt {{\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}\;n_{2}}}\;{\frac {\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

وله توزيع-t مع درجة الحرية $f=n_{1}+n_{2}-2$

تحت افتراض عدم تجانس التباينات $\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$ , سيقرب التقدير $S_{D}^{2}$كالتالي:

$S_{D}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}$

اقترح ويلز لبناء الاختبار الاحصائي على هذا التقريب واستعمل  :

$V={\frac {D-\omega _{0}}{S_{D}}}={\frac {\left({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\right)-\omega _{0}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

كاختبار احصائي.

تحت الفرضية $H_{0}$ , سيقرب بواسطة توزيع-t مع درجة الحرية f المحسوبة كالتالي:

$f={\frac {\left({\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {1}{n_{1}-1}}\;\left({\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}\right)^{2}+{\frac {1}{n_{2}-1}}\;\left({\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}}$

في كلا الحالتين (تجانس وعدم تجانس التباينات) يمكن أخذ القيم الحرجة من جدول توزيع-t

يبين الجدول التالي مجالات القرار المشتقة لمواقف الاختبار الثلاثة (لأجل مستوى الدلالة $\alpha$)

الاختبار	مجال الرفض لأجل$H_{0}$	مجال القبول لأجل $H_{0}$
الاختبار الثنائي الجانب	$\left\{v|v<-t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}{\mbox{ oder }}v>t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$	$\left\{v|-t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\leq v\leq t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$
الاختبار الأحادي الجانب الأيمن	$\left\{v|v>t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$	$\left\{v|v\leq t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$
الاختبار الأحادي الجانب الأيسر	$\left\{v|v<t_{-1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$	$\left\{v|v\geq -t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}$

في كلا أحجام العينتين $n_{1}$ و $n_{2}$ كبيرة بشكل كافي لتبرير تطبيق نظرية الحد المركزية $n_{1}>30$ و $n_{2}>30$.

مجالات القرار الناتجة مشابهة لتلك في حالة التباينات المعلومة .

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

على أساس العينة المشاهدة , متوسطي العينتين ${\overline {x}}_{1}$ و ${\overline {x}}_{2}$

واذا لزم يمكن حساب الانحرافات المعيارية التجريبية $s_{1}$ و $s_{2}$ ,

باستبدال هذه القيم لعبارة الاختبار الاحصائي , نعطي قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية $v$.

قرار الاختبار والتعاريف

تحمل قرار الاختبار والتعاريف بشكل مشابه كما في حالة اختبار متوسط العينة الواحدة.