اختبار استقلال كاي مربع

$_{0}:p_{kj}=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}\quad \forall \left(k,j\right)$H

مقابل

$_{1}:p_{kj}\neq p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}$ H

لأجل زوج واحد على الأقل.

بشكل عام مستوى الدلالة $\alpha$ وحجم العينة $n$ يكونان ثابتان قبل تطبيق الاختبار.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

لما يبنى الاختبار على المقارنة بين التكرارات المطلقة المشاهدة والتكرارات المطلقة المتوقعة تحت فرض الفرضية الصفرية , يبنى الاختبار الاحصائي حول التكرارات المطلقة .

كعينة مشاهدة تلخص في الجدول التقاطعي في عبارات التكرارات المطلقة المشتركة $h_{kj}\;(k=1,\ldots ,K\;j=1,\ldots J)$.

هذه المقادير هي مخرجات للتجربة العشوائية , نشير للمتغيرات العشوائية بواسطة $H_{kj}$.

اذا الفرضية الصفرية صحيحة , التكرارات المشتركة المتوقعة هي $e_{kj}=n\cdot p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}$

الاحتمالات المشتركة $p_{kj}$ و الاحتمالات الهامشية $p_{k\bullet }$ و $p_{\bullet j}$ مجهولة ويجب تقديرها من العينة.

المقدرات غير المتحيزة والفعالة لأجل $p_{k\bullet }$ و $p_{\bullet j}$

هي التكرارات الهامشية النسبية $f_{k\bullet }=h_{k\bullet }/n$ و $f_{\bullet j}=h_{\bullet j}/n$.

هذا يتضمن بأننا نفرض التكرارات الهامشية الثابتة في الجدول التقاطعي الثنائي البعد.

تعطى تقديراتنا للتكرارات المطلقة المشتركة المتوقعة تحت الفرضية $H_{0}$ بواسطة:

${\widehat {e}}_{kj}=n\cdot f_{k\bullet }\cdot f_{\bullet j}=n\cdot {\frac {h_{k\bullet }}{n}}\cdot {\frac {h_{\bullet j}}{n}}={\frac {h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}}$

المقارنة بين التكرارات المطلقة المشتركة في العينة والمتوقعة تحت فرض الفرضية الصفرية تبنى على الفروق $H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\;(k=1,\ldots ,K;\;j=1,\ldots J)$

الاختبار الاحصائي لهذه الفروق هو مجموع:

$V=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}{\frac {\left(H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\right)^{2}}{{\widehat {e}}_{kj}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$ يقرب الاختبار الاحصائي $V$ لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=(K-1)(J-1)$

يكون التقريب كافي اذا ${\widehat {e}}_{kj}\geq 5$ لأجل أزواج $k,\;j$ .

عندها هذه الشروط غير كافية , نضيف القيم الفعلية (أو الفئات) لنركب مجموعات أكبر من المشاهدات الممكنة.

تشير $K$ و $J$ لأعداد الفئات في كلا المتغيرين.

القيمة الحرجة $c$ عند $P(V\leq c)=1-\alpha$ , تشاهد في جدول تابع التوزيع لكاي مربع التجميعي مع درجات الحرية (J-1)(K-1)

مجالات القرار هي :

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$:

$\;\left\{v|v>\chi _{1-\alpha ;(K-1)\cdot \left(J-1\right)}^{2}\right\}$

مجال القبول للفرضية $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq \chi _{1-\alpha ;(K-1)\cdot \left(J-1\right)}^{2}\right\}$

تحت الفرضية الصفرية نفرض احتمال الاختبار الاحصائي $V$ القيمة من مجال الرفض للفرضية $H_{0}$ والمساوي لمستوى الدلالة $\alpha =P(V>\chi _{1-\alpha }^{2}|f|H_{0})$

يشاهد احتمال الاختبار الاحصائي $V$ في مجال القبول للفرضية $H_{0}$

$P(V\leq \chi _{1-\alpha }^{2};f|H_{0})=1-\alpha$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

بعد سحب حجم العينة $n$ ستسحب التكرارات المطلقة $h_{kj}$ لكل الأزواج الفعلية المشاهدة $\left(x_{k},y_{j}\right)$

يمكننا تعزيز التكرارات الهامشية التجريبية لأجل $X$ و $Y$ ونشتق التكرارات المطلقة المتوقعة ${\widehat {e}}_{kj}$

طبقا للصيغة في الأعلى. اذا خالفنا شروط التقريب يتطلب ذلك مزيد من التبويب.

والتكرارات $h_{kj}$, $h_{k\bullet }$, $h_{\bullet j}$ و ${\widehat {e}}_{kj}$ سيعاد حسابها .

بادخال $h_{kj}$ و ${\widehat {e}}_{kj}$ لصيغة الاختبار الاحصائي تنتج قيمة الاختبار الاحصائية الفعلية $V$ .

قرار الاختبار والتعاريف

اذا $v$ تقع في مجال الرفض للفرضية $H_{0}$. سنرفض الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n$ عند مستوى الدلالة $\alpha$.

في هذه الحالة لا يمكننا اظهار المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ مستقلة احصائيا.

بذلك عمل خطأ النوع الأول احتمال العينات المعادة (الاختبارات) تساوي لمستوى الدلالة $\alpha$.

اذا $v$ تقع في مجال القبول للفرضية $H_{0}$ سنقبل الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n$

لاتتعارض العينة احصائيا مع فرض الاستقلال عمل خطأ النوع الثاني في هذه الحالة اذا الفرضية البديلة صحيحة .