مثال : مجالات الثقة للتباين

مثال : مجالات الثقة للتباين

لأجل المجتمع من $N=2000$ عائلة , ندع $X$ لتشير للدخل الصافي للعائلة .

نفرض $X$ لتقرب للتوزيع الطبيعي $X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})$.

العنصران $E(X)=\mu$ والتباين $\sigma ^{2}$ مجهولان.

بناء مجالات الثقة للمتوسط المجهول $E(X)=\mu$ , درس من قبل في قسم مجالات الثقة للتوقع.

هنا نريد التركيز على التباين المجهول $\sigma ^{2}$ , ونبني مجال الثقة مع درجة الثقة

العينة العشوائية من الحجم $n=20$ تنتج القيم الفعلية التالية :

$i$	الدخل الصافي للعائلة (DM) $x_{i}$	$i$	الدخل الصافي للعائلة (DM) $x_{i}$
1	800	11	2500
2	1200	12	2500
3	1400	13	2500
4	1500	14	2700
5	1500	15	2850
6	1500	16	3300
7	1800	17	3650
8	1800	18	3700
9	2300	19	4100
10	2400	20	4300

متوسط دخل العائلة في العينة هو:

${\bar {x}}=48300/20=2415$

يعطى تقدير النقطة للتباين المجهول $\sigma ^{2}$ بواسطة:

$s^{2}=1002131,58$

نجد باستعمال جداول كاي مربع :

$\chi _{\alpha /2;n-1}^{2}=\chi _{0,025;19}^{2}=8,91{\mbox{ and }}\chi _{1-\alpha /2;n-1}^{2}=\chi _{0,975;19}^{2}=32,85$

لهذا يعطى مجال الثقة بواسطة:

$\left[{\frac {19\cdot 1002131,58}{32,85}},\quad {\frac {19\cdot 1002131,58}{8,91}}\right]=[579619,48,\quad 2136980,92]$