مثال : تقدير الامكانية العظمى لتوزيع بواسون

تلخص البيانات عدد حوادث السيارات لكل 50 يوم, يلخص الجدول التالي المشاهدات :

عدد حوادث السيارات يوميا	عدد الأيام
0	21
1	18
2	7
3	3
4	1

يستخدم توزيع بواسون لنمذجة عدد الظهورات لحادث في فترة زمنية معينة في هذه الحالة يكون عدد الحوادث لكل يوم الافتراض الحرج بأن الحوادث مستقلة. ندع $X$ ليكون عدد حوادث

السيارات كل يوم عندئذ: $X\sim PO(\lambda )$. العنصر $\lambda$ مجهول

وسيتم تقديره باستعمال الامكانية العظمى, يعطى تابع الامكانية العظمى للعينة الحقيقية ($x_{1},\ldots ,x_{50}$) بواسطة:

$L(\lambda |x_{1},\ldots ,x_{50})={\frac {\lambda ^{x_{1}+\dots +x_{50}}}{x_{1}!\cdot \ldots \cdot x_{50}!}}e^{-50\lambda }={\frac {\lambda ^{45}}{0!\cdot 0!\cdot \dots \cdot 3!\cdot 4!}}e^{-50\lambda }$

ويعطى لوغارتم الامكانية العظمى بواسطة:

$\log L(\lambda |x_{1},\ldots ,x_{50})=45\log \lambda -[\log(0!)+\log(0!)+\ldots +\log(3!)+\log(4!)]-50\lambda$

نعمل التفاضل الى $\lambda$ ونضعه مساوي للصفر ينتج

${\frac {\partial \log L}{\partial \lambda }}={\frac {45}{\widehat {\lambda }}}-50=0$

وحينئذ

${\widehat {\lambda }}={\frac {45}{50}}=0.9={\bar {x}}$

نتحقق من الشرط الثاني الكافي للتعظيم عند النقطة .

${\frac {\partial ^{2}\log L}{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}45<0$