مثال للتقريب

مثال للتقريب

استنادا للتجربة نعرف أن 10% من عائدات الضرائب من بلدة معينة فيها أخطاء. باستعمال عينة من 100

عائدات الضرائب من هذه البلدة. ما هو احتمال 12 منهم تحتوي أخطاء:

توجد نتيجتين ممكنتين فقط للتجربة "خاطئة" أو" صحيحة" مع الاحتمالات المطابقة و

المتغير العشوائي $X=$ " عدد عوائد الضرائب الخاطئة من 100 مختارة عشوائيا"

له التوزيع الثنائي $B(n,p)=B(100;\;0,1))$. نحتاج لحساب الاحتمال $P(X=12)=f(12)$.

$f_{B}(12;\;100;\;0,1)={2000 \choose 10}\cdot 0,1^{12}\cdot 0,9^{88}=0,0988$

القيمة $f_{B}(12;\;100;\;0,1)$ غير موجودة في الجداول, سنحسب النتيجة والتي تكون صعبة

على أية حال الشروط لصلاحية التقريب باستعمال التوزيع الطبيعي تكون كافية $np=10\geq 5$ ,$n(1-p)=90\geq 5$ و نقرب الاحتمال مع التوزيع الطبيعي $N(\mu ;\;\sigma )$. القيمة المتوقعة والتباين للتوزيع الثنائي هي:

$\mu =np=100\cdot 0,1=10\;{\mbox{ , }}\;\sigma ^{2}=np(1-p)=100\cdot 0,1\cdot 0,9=9$

لذلك نستعمل توزيع $N(10;\;3)$ (شاهد الشكل البياني)

ملاحظة : لأجل المتغير العشوائي المستمر, تعطى الاحتمالات بالمنطقة تحت الكثافة الاحتمالية لذلك احتمال

قيمة معينة واحدة يساوي دائما الى الصفر $x=12$

لذلك نطرح ونضيف 0.5 الى 12 بدلا من $x=12$ (للمتغير المنقطع) نستعمل المجال للمتغيرات المستمرة $11,5\leq x\leq 12,5$ و $f_{B}(12;\;100;\;0,1)$ عندئذ التقريب

بواسطة $P(11,5\leq x\leq 12,5)$. المساحة تحت الكثافة الاحتمالية $N(10;\;3)$

بين النقاط 11.5 و 12.5

تحتوي الجداول فقط تابع التوزيع الى $N(0;1)$ متغير عشوائي ولذلك نقوم بمعايرة المتغير العشوائي $X$:

و

باستعمال الجداول الطبيعية نحصل : $\Phi (0,83)=0,7967$ و $\Phi (0,5)=0,6915$

حينئذ

$P(11,5\leq x\leq 12,5)=\Phi (0,83)-\Phi (0,5)=0,7967-0,6915=0,1052$

يعمل التقريب بشكل جيد لحد ما, خطأ التقريب هو $0,1052-0,0988=0,0064$

نرى بأن:

الاحتمال التقريبي لوجود 12 خطأ على الأكثر للضرائب هو:

$P(X\leq 12)=\Phi \lbrack (12+0,5-10)/3]=\Phi (0,83)=0,7967{\mbox{ .}}$

الاحتمال التقريبي للحصول على أكثر من 12 خطأ للضرائب هو:

$P(X>12)=1-\Phi \lbrack (12+0,5-10)/3]=1-\Phi (0,83)=1-0,7967=0,2033{\mbox{ .}}$

الاحتمال التقريبي للحصول على 12 خطأ على الأقل للضرائب هو:

$P(X\geq 12)=1-\Phi \lbrack (12-0,5-10)/3]=1-\Phi (0,5)=1-0,6915=0,3085{\mbox{ .}}$