مثال للانحدار الخطي ذو البعد الواحد

ندرس الدخل الصافي الشهري والنفقات الشهرية لعشر أسر :

الأسرة	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
الدخل الصافي - يورو ($x_{i}$)	3500	5000	4300	6100	1000	4800	2900	2400	5600	4100
نفقات المعيشة - يورو($y_{i}$)	2000	3500	3100	3900	900	3000	2100	1900	2900	2100

ترسم هذه المشاهدات في الشكل البياني التالي نرى أن الدخل الصافي للأسر له تأثير موجب على نفقات المعيشة للأسرة ونستطيع تقدير هذا الارتباط من خلال تابع الانحدار الخطي.

نريد تقدير تابع الانحدار الخطي الذي يصف نفقات المعيشة للأسرة كتابع للدخل الصافي للأسرة.

لتقدير نموذج الانحدار الخطي نحتاج لبعض الحسابات التالية:

الأسرة	$x_{i}$	$y_{i}$	$x_{i}\cdot y_{i}$	${x_{i}}^{2}$	${y_{i}}^{2}$
1	3500	2000	7000000	12250000	4000000
2	5000	3500	17500000	25000000	12250000
3	43000	3100	13330000	18490000	9610000
4	6100	3900	23790000	37210000	15210000
5	1000	900	900000	1000000	810000
6	4800	3000	14400000	23040000	9000000
7	2900	2100	6090000	8410000	4410000
8	24000	1900	4560000	5760000	3610000
9	5600	2900	16240000	31360000	8410000
10	4100	2100	8610000	16810000	4410000
المجموع	39700	25400	112420000	179330000	71720000

باستعمال صيغ الاشتقاق نحسب عناصر الانحدار المقدرة $b_{0}$ و $b_{1}$ كالتالي:

$={\frac {\sum y_{i}\sum {x_{i}}^{2}-\sum x_{i}\sum x_{i}y_{i}}{n\sum {x_{i}}^{2}-\sum x_{i}\sum x_{i}}}$	${\widehat {b_{0}}}$
	$={\frac {(25400\cdot 179330000)-(39700\cdot 112420000)}{(10\cdot 179330000)-(39700\cdot 39700)}}$
	$\,=423,13$
$={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{n\sum {x_{i}}^{2}-\sum x_{i}\sum x_{i}}}$	${\widehat {b_{1}}}$
	$={\frac {(10\cdot 112420000)-(39700\cdot 25400)}{(10\cdot 179330000)-(39700\cdot 39700)}}$
	$\,=0,5332$

لهذا تابع الانحدار المقدر هو:

${\widehat {y_{i}}}=423,13+0,5332\cdot x_{i}$

النفقات = 423,13 + 0,5332 $\cdot$ الدخل الصافي

يرسم خط الانحدار المقدر في الشكل البياني:

يطابق ميل الخط للميل الحدي للاستهلاك, زيادة الدخل الصافي بواسطة يورو واحد ينقلنا بالمتوسط الى

0,53 يورو زيادة في الاستهلاك للأسر المدروسة.

تحسب الاشتقاقات المعيارية البسيطة الى $x$ و $y$ وتباينهم المشترك ويمكن الحصول بسهولة على معامل الارتباط البسيط:

$r_{xy}={\frac {S_{xy}}{S_{x}S_{y}}}={\frac {1286900}{1553,5\cdot 894,68}}=0,926$

ويشير لارتباط قوي موجب ما بين دخول الأسر الصافية ونفقات المعيشة.

تقيم جودة مطابقة تابع الانحدار بواسطة معامل التحديد وهو نسبة التباين المفسر بواسطة تابع الانحدار والتباين الاجمالي للنفقات Y:

$R^{2}={\frac {\sum {({\widehat {y_{i}}}-{\bar {y}})}^{2}}{\sum {(y_{i}-{\bar {y}})}^{2}}}={\frac {6175715,85}{7204000,00}}=0,857$

يبين معامل التحديد أن 86% من التباين لنفقات المعيشة للأسر يمكن تفسيرها بواسطة الارتباط الخطي للدخول الصافية للأسر.