مثال لخواص المقدرات

مثال لخواص المقدرات

نفترض المجتمع مع المتوسط $\mu$ والتباين $\sigma ^{2}$. ندع $(X_{1},X_{2},X_{3})$ لتكون عينة عشوائية مسحوبة من المجتمع.

كل متغير عشوائي $X_{i}\;(i=1,2,3)$ له: $E(X_{i})=\mu$ و $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$.

نعتبر المقدرات الثلاثة التالية لمتوسط المجتمع:

${\hat {\Theta }}_{1}={\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})$

${\hat {\Theta }}_{2}={\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{3})$

${\hat {\Theta }}_{3}={\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{2})$

• أي مقدر غير متحيز؟

• أي مقدر له الفعالية الأكثر ؟

كلها غير متحيزة حينئذ $E(X_{i})=\mu$ :

$\,=\mu$	$E({\hat {\Theta }}_{1})=E[{\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})]={\frac {1}{3}}[E(X_{1})+E(X_{2})+E(X_{3})]={\frac {1}{3}}(\mu +\mu +\mu )$
$\,=\mu$	$E({\hat {\Theta }}_{2})=E[{\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{3})]={\frac {1}{4}}[2E(X_{1})+2E(X_{3})]={\frac {1}{4}}(2\mu +2\mu )$
$\,=\mu$	$E({\hat {\Theta }}_{3})=E[{\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{2})]={\frac {1}{3}}[2E(X_{1})+E(X_{2})]={\frac {1}{3}}(2\mu +\mu )$

يعطى التباين لكل مقدر بواسطة :

$=Var[{\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})]={\frac {1}{9}}Var(X_{1}+X_{2}+X_{3})={\frac {1}{9}}[Var(X_{1})+Var(X_{2})+Var(X_{3})]={\frac {1}{9}}(\sigma ^{2}+\sigma ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {1}{3}}\sigma ^{2}$	$Var({\hat {\Theta }}_{1})$
$=Var[{\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{3})]={\frac {1}{16}}Var(2X_{1}+2X_{3})={\frac {1}{16}}[4Var(X_{1})+4Var(X_{3})]={\frac {1}{16}}(4\sigma ^{2}+4\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}$	$Var({\hat {\Theta }}_{2})$
$=Var[{\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{2})]={\frac {1}{9}}Var(2X_{1}+X_{2})={\frac {1}{9}}[4Var(X_{1})+Var(X_{2})]={\frac {1}{9}}(4\sigma ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {5}{9}}\sigma ^{2}$	$Var({\hat {\Theta }}_{3})$

لأن المقدر الأول يستعمل كل البيانات فهو الأكثر فعالية. بالطبع هنا المقدر هو متوسط العينة . نلاحظ بأن

المقدرين الثاني والثالث يستعمل فقط المشاهدتين , المقدر الثالث أقل فعالية من الثاني لأنه لا يثقل المشاهدات بشكل متساوي .