مثال لتوزيع العينات

مثال لتوزيع العينات

يشترك 7 طلاب في امتحان لدورة تخرج ويحصلون على العلامات التالية :

الجدول 1 :

الطالب	A	B	C	D	E	F	G
العلامة	10	11	11	12	12	12	16

المتغير $X\,$ " علامة الامتحان" له التوزيع التكراري التالي :

الجدول 2 :

$x\,$	$h(x)\,$	$f(x)=h(x)/N\,$	$F(x)\,$
10	1	1/7	1/7
11	2	2/7	3/7
12	3	3/7	6/7
16	1	1/7	7/7

مع عناصر المجتمع $\mu =12,\;\sigma ^{2}=3,143$ و $\sigma =1,773\,$.

العينة العشوائية مع الاعادة :

$n=2\,$ امتحان للعينات مع الاعادة من المجتمع. يحتوي الجدول 3 كل العينات الممكنة من الحجم $n=2\,$ مع الاعادة والجدول التالي يبين ترتيب السحوبات:

الجدول3 :

1. الامتحان	2. الامتحان
	10	11	11	12	12	12	16
10	10;10	10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12	16;16

لكل عينة ممكنة سيحسب متوسط العينة ويسجل في الجدول 4.

الجدول4 :

1. الامتحان	2. الامتحان
	10	11	11	12	12	12	16
10	10	10,5	10,5	11	11	11	13
11	10,5	11	11	11,5	11,5	11,5	13,5
11	10,5	11	11	11,5	11,5	11,5	13,5
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
16	13	13,5	13,5	14	14	14	16

لذلك تأخذ ${\bar {x}}$ قيم متنوعة مع احتمالات معينة. من الجدول4 يحدد توزيع ${\bar {x}}$

بشكل معلوم في العمودين الأوليين للجدول 5.

الجدول 5:

${\bar {x}}$	$P({\bar {x}})$	${\bar {x}}-E({\bar {x}})$	$[{\bar {x}}-E({\bar {x}})]^{2}$	$[{\bar {x}}-E({\bar {x}})]^{2}\cdot P({\bar {x}})$
10	1/49	-2	4	4/49
10,5	4/49	-1,5	2,25	9/49
11	10/49	-1	1	10/49
11,5	12/49	-0,5	0,25	3/49
12	9/49	0	0	0
13	2/49	1	1	2/49
13,5	4/49	1,5	2,25	9/49
14	6/49	2	4	24/49
16	1/49	4	16	16/49

متوسط هذا التوزيع, بمعنى تعطى القيمة المتوقعة الى ${\bar {x}}$ بواسطة

$E({\bar {x}})=588/49=12$.

والمساوية للقيمة المتوقعة للمتغير $X\,$ في المجتمع: $E(X)=12\,$. باستعمال

النتائج في الأعمدة من الثالث حتى الخامس للجدول 5 يسمح بحساب تباين ${\bar {x}}$

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=77/49=11/7=1,5714$

هذه النتيجة متوافقة مع الصيغة لأجل $\sigma ^{2}({\bar {x}})$ المعطاة فوق:

$\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n=(22/7)/2=11/7$

من السهل رؤية تباين ${\bar {x}}$ أصغر من تباين $X\,$ في المجتمع.

العينة العشوائية بدون اعادة :

من المجتمع $n=2\,$ امتحانين مسحوبين عشوائيا بدون اعادة. يعرض الجدول 6 كل العينات

الممكنة من الحجم $n=2\,$ من العينات بدون اعادة,

الجدول 6 :

1. الامتحان	2. الامتحان
	10	11	11	12	12	12	16
10		10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10		11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11		11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11		12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12		12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12		12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12

لكل عينة ممكنة يحسب متوسط العينة ويسجل في الجدول 7:

الجدول 7 :

1. الامتحان	2. الامتحان
	10	11	11	12	12	12	16
10		10,5	10,5	11	11	11	13
11	10,5		11	11,5	11,5	11,5	13,5
11	10,5	11		11,5	11,5	11,5	13,5
12	11	11,5	11,5		12	12	14
12	11	11,5	11,5	12		12	14
12	11	11,5	11,5	12	12		14
16	13	13,5	13,5	14	14	14

يحتوي العمودين الأوليين للجدول 8 التوزيع الاحتمالي لمتوسط العينة

الجدول 8:

${\bar {x}}$	$P({\bar {x}})$	${\bar {x}}-E({\bar {x}})$	$[{\bar {x}}-E({\bar {x}})]^{2}$	$[{\bar {x}}-E({\bar {x}})]^{2}\cdot P({\bar {x}})$
10,5	4/42	-1,5	2,25	9/42
11	8/42	-1	1	8/42
11,5	12/42	- 0,5	0,25	3/42
12	6/42	0	0	0
13	2/42	1	1	2/42
13,5	4/42	1,5	2,25	9/42
14	6/42	2	4	24/42

القيمة المتوقعة $E({\bar {x}})$

$E({\bar {x}})=504/42=12$

ومساوية للقيمة المتوقعة الى $X\,$ في المجتمع.

التباين مساوي الى

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=55/42=1,3095$.

والمطابقة مع الصيغة لحساب $\sigma ^{2}({\bar {x}})$ المعطاة مسبقا

$={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$ $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})$

$={\frac {22/7}{2}}\cdot {\frac {7-2}{7-1}}={\frac {22\cdot 5}{7\cdot 2\cdot 6}}={\frac {55}{42}}$