مثال داعم أخر للتوزيع الثنائي

مثال داعم أخر للتوزيع الثنائي :

يطبق على طلاب جامعة الهومبولدت في برلين استفتاء, أجاب 65 % من الطلاب بأن عندهم عمل جزئي,

ما هو الاحتمال بأن 4 من 8 طلاب مختارين عشوائيا من هذه الجامعة له عمل جزئي على الأكثر.

تكون فرضيات تجربة بيرنولي كافية :

تنتج كل" تجربة" نتيجتين فقط :

{الطالب له عمل جزئي} = A , {الطالب ليس له عمل جزئي} =

P(A) = 0.65 ; P ( ) = 0.35

نفترض عينة عدد الطلاب كبير مقارنة بأعداد الطلاب, وممكن استعمال التوزيع الثنائي.

الاحتمالات مرتبطة مع الحوادث التي تعتبر ثابتة واجابات الطلاب مستقلة (احتمال اختيار طالب واحد مرة ثانية ضئيل وقريب من الصفر).

نتيجة هذه التجربة للمتغير العشوائي X : { عدد الطلاب لديهم عمل جزئي } = X , هذا المتغير العشوائي له التوزيع الثنائي (X B(n;p) = B(8;0.65

نحتاج لنحسب الاحتمال ( 4 P(X

بمعنى تابع التوزيع ( F(4

لم تصنف قيمة تابع التوزيع ( B(8;0.65 , حساب تابع التوزيع يدويا صعب جدا, يجب حساب مجموع الاحتمالات الخمسة 4 ,....,f(x), x = 0,1 , نقيم تابع التوزيع عدديا (شاهد العمود الثاني للجدول التالي ):

0	0.0002	0.0319
1	0.0036	0.1691
2	0.0253	0.4278
3	0.1061	0.7064
4	0.2936	0.8939
5	0.5722	0.9747
6	0.8309	0.9964
7	0.9681	0.9998
8	1.0000	1.0000

الشكل 1 : توابع الكثافة لأجل ( B(8;0,35) و (B(8;0,65 :

الشكل 2 : توابع التوزيع لأجل ( B(8;0,35) و B(8;0,65

احتمال 4 طلاب على الأكثر لديهم عمل جزئي من عينة الطلاب n=8 المختارين عشوائيا هو 0.2936

اذا أنت غير قادر لتقييم التوزيع عدديا , بالامكان تصنيف قيم التوزيع الثنائي و تناظر التوزيع الثنائي للحصول على الاحتمالات يتطلب لذلك

( B(8;0,65 {عدد الطلاب لديهم عمل جزئي } = X

( B(8;0,35 {عدد الطلاب بدون عمل جزئي } = Y

بدلا من حساب الاحتمال:( 4 P(X

نحسب الاحتمال P(Y 4) = 1 - P(X

, باستعمال جدول التوزيع الثنائي , نجده في العمود الثالث P(Y

3) = 0.7064 : ويشير هذا بأن P(Y

4) = 1 - 0.7064 = 0.2936.