مثال حول توزيع تباين العينة

مثال حول توزيع تباين العينة

لقياس الاختلاف في الوقت اللازم لانجاز مهمة معينة , يستعمل التباين غالبا, نعتبر الوقت اللازم لينجز العامل

العمل المعين $X\,$, نفرض المتغير العشوائي $X\,$ له التوزيع الطبيعي مع $E(X)=\mu \,$ و $Var(X)=\sigma ^{2}\,$.

العينة العشوائية من الحجم $n\,$ المسحوبة مع الاعادة, المتغيرات العشوائية $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ هي متغيرات مستقلة ومتماثلة وموزعة بشكل طبيعي .

المشكلة 1 :

نسحب العينة العشوائية من الحجم $n=15\,$

ما هو الاحتمال ليأخذ تباين العينة $S^{2}\,$ القيم في المجال $[0,5\cdot \sigma ^{2};1,5\cdot \sigma ^{2}]$ ؟ ذلك يعني نحسب الاحتمال كالتالي:

$P(0,5\sigma ^{2}\leq s^{2}\leq 1,5\sigma ^{2})$.

لحل هذه المشكلة نضرب كل طرف بواسطة $(n-1)/\sigma ^{2}\,$

حيث $n-1=14\,$ ينتج أن:

$P(0,5\sigma ^{2}\leq s^{2}\leq 1,5\sigma ^{2})=P\left(7\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}\leq 21\right)$

احتمال $S^{2}\,$ سيأخذ القيم بين $0,5\cdot \sigma ^{2}$ و $1,5\cdot \sigma ^{2}$ هو مطابق لاحتمال المتغير العشوائي المحول الذي يأخذ القيم بين 7 و 21.

المتغير العشوائي له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=n-1=\,14$

نجد الاحتمال بواسطة استعمال جدول توزيع كاي مربع:

$=P\left(7\leq {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}\leq 21\right)$	$P(0,5\sigma ^{2}\leq s^{2}\leq 1,5\sigma ^{2})$
	$=P\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}\leq 21\right)-P\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}\leq 7\right)$
	$\,=0,8984-0,0653=0,8331$

احتمال $S^{2}\,$ سيتوضع في المجال $[0,5\cdot \sigma ^{2};1,5\cdot \sigma ^{2}]$ ومساوي الى 0,8331

يبين الشكل البياني التالي تابع الكثافة لتوزيع كاي مربع مع 14 درجة الحرية, حيث يشير الرمز $Y\,$ بشكل مختصر الى $Y=(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}\,$

المشكلة 2 :

الهدف هو تحديد المجال المركزي لتباين العينة $S^{2}\,$ مع الاحتمال المعطى , نفرض نفس المجتمع كما في المشكلة 1 ونستعمل العينة العشوائية من الحجم $n=\,30$ حيث

$P\left(v_{1}\leq {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{2}\right)=0,95$

ونضع ثانية الاحتمالات المتساوية

$P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{1}\right)=0,025;\qquad P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{2}\right)=0,975$

بفرض استعمال جداول توزيع كاي مربع مع 29 درجة الحرية نحصل على $v_{1}=16,05\,$ و $v_{2}=45,72\,$ لهذا:

$P\left(16,05\leq {\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq 45,72\right)=0,95$

مع الاحتمال 0.95 يأخذ المتغير العشوائي المحول القيم في المجال: $\,[16,05;\;45,72]$

نعيد صياغة المجال:

$P\left({\frac {16,05\sigma ^{2}}{n-1}}<S^{2}<{\frac {45,72\sigma ^{2}}{n-1}}\right)=0,95$

$P(0,5534\sigma ^{2}<S^{2}<1,5766\sigma ^{2})=0,95\,$

مع الاحتمال 0.95 سيأخذ تباين العينة $S^{2}\,$ القيم في المجال: $[0,5534\sigma ^{2};1,5766\sigma ^{2}\,]$

ستحدد الحدود العددية الدقيقة للمجال فقط اذا تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$ للمتغير $X\,$ معلوم