مثال توضيحي لتوزيعات العينات

مثال توضيحي لتوزيعات العينات

يوضح هذا المثال كيفية صياغة توزيع العينة لمتوسط العينة, توقعه وتباينه. تصنع في النهاية بعض

الفرضيات المعينة حول المجتمع. بالعموم اذا افترضنا متوسط الدخول الاجمالية بالساعة لكل 5000 عامل في الشركة هو $27.30 مع انحراف معياري $5.90 وتباين $34.81.

المشكلة 1 :

نفرض المتغير $X\,$ الدخول الاجمالية بالساعة للعامل (المختار عشوائيا) في هذه الشركة وهذا

المتغير له توزيع طبيعي. ذلك يعني: $X\sim N(27,3;5,9)$.

من مجتمع العمال في هذه الشركة, نختار العينة العشوائية من $n\,$ عامل (مع الاعادة ).

يعطي متوسط العينة متوسط الدخول الاجمالية بالساعة للعمال $n\,$ في هذه العينة.

نحسب القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري ونجد الصيغة الخاصة لتوزيع ${\bar {x}}$ لأجل أحجام العينات التالية:

$n=10\,$

$n=50\,$

$n=200\,$

القيمة المتوقعة:

بغض النظر عن $n\,$, القيمة المتوقعة الى ${\bar {x}}$ هي

$E({\bar {x}})=\mu =27,30{\mbox{ DM}}$

التباين والانحراف المعياري:

يساوي تباين متوسط العينة الى

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$.

لهذا:

a- لأجل العينة العشوائية من الحجم: $n=10\,$

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}{\bar {x}}=5,9^{2}/10=34,81/10=3,481$

$\sigma ({\bar {x}})=1,8657$.

b-لأجل العينة العشوائية من الحجم: $n=50\,$

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=5,9^{2}/50=34,81/50=0,6962$

$\sigma ({\bar {x}})=0,8344$

c- لأجل العينة العشوائية من الحجم: $n=200\,$

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=5,9^{2}/200=34,81/200=0,17405$

$\sigma ({\bar {x}})=0,4172$.

من الواضح الانحراف المعياري الى ${\bar {x}}$ أصغر من الانحراف المعياري الى $X\,$ في المجتمع.

على أية حال :يتناقص الانحراف المعياري الى ${\bar {x}}$من 1,8657 الى 0,8344 والى 0,4172 ,

لما حجم العينة يزداد من 10 الى 50 ومن ثم الى 200

توزيع العينات الى ${\bar {x}}$ :

نفرض $X\,$ له التوزيع الطبيعي وينتج لذلك متوسط العينة ${\bar {x}}$ له أيضا التوزيع الطبيعي أيضا تحت العينة العشوائية مع الاعادة.

بغض النظر عن حجم العينة لهذا:

a- لأجل العينات العشوائية من الحجم: $n=10\,$

$X\sim N(27,3;\;1,8657)$

يطابق المنحنى الأحمر في الرسم البياني لتوزيع $X\,$ في المجتمع بينما يقابل المنحنى الأزرق

توزيع متوسط العينة ${\bar {x}}$

b- لأجل العينة العشوائية من الحجم: $n=50\,$

$X\sim N(27.3;0,8344)$

c- لأجل العينة العشوائية من الحجم : $n=200\,$

$X\sim N(27.3;0,4172)$

المشكلة2 :

نفرض المتغير $X\,$ "الدخول الاجمالية بالساعة للعامل في هذه الشركة (المختار عشوائيا)"

حينئذ $X\sim N(27,3;5,9)$.

العينة من الحجم n المسحوبة بشكل عشوائي بدون اعادة. يعطي متوسط العينة الدخول الاجمالية بالساعة للعمال n في العينة.

نحسب القيمة المتوقعة, التباين والانحراف المعياري الى ${\bar {x}}$ لأجل أحجام العينات التالية:

$n=10\,$

$n=50\,$

$n=1000\,$

القيمة المتوقعة :

كل العينات العشوائية بدون اعادة, بغض النظر عن الحجم n لها نفس القيمة المتوقعة كما في المشكلة الأولى:

$E({\bar {x}})=\mu =27,30{\mbox{ DM}}$

التباين والانحراف المعياري :

في حالة العينات بدون اعادة , يخفض تباين متوسط العينة بواسطة معامل تصحيح العينة المنتهية. يعطى تباين متوسط العينة بواسطة:

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$.

على أية حال, يمكن اهمال تصحيح العينة المنتهية اذا n صغيرة بشكل نسبي الى N, على سبيل المثال اذا: $n/N\leq 0,05$

لهذا:

a - لأجل العينة العشوائية مع الاعادة من الحجم: $n=10$

حيث: $n/N=10/5000=0,002<0,05\,$ , يحسب التباين بدقة كافية باستعمال: $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$

وهذا يقود لنفس النتيجة كما في المشكلة 1:

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=5,9^{2}/10=34,81/10=3,481$

$\sigma ({\bar {x}})=1,8657{\mbox{ DM}}$.

بالمقارنة, ينتج تصحيح العينة المنتهية: $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=3,4747$ و $\sigma ({\bar {x}})=1,8641$

b - للعينة العشوائية مع الاعادة من الحجم: $n=50$

حيث: $n/N=50/5000=0,01<0,05\,$ يحسب التباين باستعمال: $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$

هذا يقود لنفس النتيجة كما في المشكلة 1:

$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=5,9^{2}/50=34,81/50=0,6962$

$\sigma ({\bar {x}})=0,8344{\mbox{ DM}}$

والمشابهة لنتيجة العينة المصححة المنتهية $\sigma ({\bar {x}})=0,8303$

c -لأجل العينة العشوائية مع الاعادة من الحجم: $n=1000$

حيث: $n/N=1000/5000=0,2>0,05\,$

يحسب التباين والانحراف المعياري باستعمال تصحيح العينة المنتهية:

$={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$ $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})$

|$={\frac {5,9^{2}}{1000}}\cdot {\frac {5000-1000}{5000-1}}=0,0279$

$\sigma ({\bar {x}})=0,1669{\mbox{ DM}}$

المشكلة 3 :

نفرض بشكل واقعي أكثر التوزيع $X\,$ "الدخول الاجمالية بالساعة للعامل (المختار

عشوائيا) من هذه الشركة" مجهول. حينئذ كل ذلك معلوم $E(X)=\mu =27,30{\mbox{ DM}}\,$ و $\sigma (X)=5,90{\mbox{ DM}}\,$.

حجم العينة n المسحوبة عشوائيا. يعطي متوسط العينة الدخول الاجمالية بالساعة للعمال n في العينة.

نحسب القيمة المتوقعة, التباين والانحراف المعياري ونجد الصيغة الخاصة لتوزيع ${\bar {x}}$

لأجل أحجام العينات التالية:

$n=10\,$

$n=50\,$

$n=200\,$

القيمة المتوقعة :

لا يعتمد حساب القيمة المتوقعة $E({\bar {x}})$ على توزيع $X\,$ في المجتمع.

حينئذ لا توجد خواص جديدة في الوضع الحالي وتكون النتائج متطابقة للمشكلتين السابقتين:

$E({\bar {x}})=\mu =27,30{\mbox{ DM}}$

التباين والانحراف المعياري :

لا يعتمد حساب التباين الى ${\bar {x}}$ على توزيع $X\,$ في المجتمع, لكنه يعتمد على نوع وحجم العينة العشوائية.

في عرض المشكلة 3 لم يحدد شكل العينة على أية حال, لأجل أحجام العينات الثلاثة: $n/N<0,05\,$

حينئذ اذا العينة المسحوبة بدون اعادة,تستخدم الصيغة: $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$ كتقريب

لأجل $n=10\,$	$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=3,481$	$\sigma ({\bar {x}})=1,8657{\mbox{ DM}}$
لأجل $n=50\,$	$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=0,6962$	$\sigma ({\bar {x}})=0,8344{\mbox{ DM}}$
لأجل $n=200\,$	$Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=0,17405$	$\sigma ({\bar {x}})=0,4172{\mbox{ DM}}$

توزيع العينة ${\bar {x}}$:

اذا توزيع $X\,$ في المجتمع مجهول, لا تعمل بيانات دقيقة حول توزيع ${\bar {x}}$

على أية حال تشير نظرية الحد المركزية بأن المتغير العشوائي المعياري $Z$

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}{\sqrt {n}}\quad {\mbox{bzw.}}\quad Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma {\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}}{\sqrt {n}}$

يقترب للتوزيع الطبيعي المعياري اذا حجم العينة $n>30\,$ وفي العينات العشوائية بدون اعادة, حجم المجتمع $N\,$ كبير بشكل كافي. وهذا كاف للحالات $n=50\,$ و $n=200\,$.