مثال أخر لاجراء توزيع كاي مربع – اختبار جودة المطابقة

مثال أخر لاجراء توزيع كاي مربع – اختبار جودة المطابقة

لدينا حجر نرد حر نريد اثبات هذه العبارة باستعمال اختبار جودة المطابقة لتوزيع كاي مربع عند مستوى الدلالة $\alpha =0,1$ حجم العينة هو $n=240$.

الفرضيات

المتغير العشوائي $X$ الرقم الظاهر فوق على حجر النرد هو متغير منقطع ونفرض القيم: $x_{1}=1,\;x_{2}=2,\;x_{3}=3,\;x_{4}=4,\;x_{5}=5$ و $x_{6}=6$.

توزيعه $F(x)$ مجهول, لكن الفرضية الصفرية حجر النرد حر وحينئذ كل النتائج لها احتمالات متساوية , حينئذ الفرضية الصفرية أن $X$ له التوزيع المنتظم المنقطع:

$H_{0}:\;P\left(X=x_{j}\right)=p_{j}=1/6,\quad \forall j=1,\ldots ,6$

$H_{1}:\;P\left(X=x_{j}\right)\neq 1/6,\quad {\mbox{ }}j$

لأجل واحد على الأقل

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

نستعمل الاختبار الاحصائي لاختبار كاي مربع:

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-np_{j}\right)^{2}}{np_{j}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$, $V$له توزيع كاي مربع الشروط التقريبية كافية.

لما $np_{j}=40>5$ لأجل كل $j=1,\ldots ,6$, التوزيع المنتظم المنقطع محدد

تماما ولا يوجد أي عنصر حينئذ للتقدير $m=0$, لدينا درجة الحرية: $f=k-m-1=5$.

ننظر للقيمة الحرجة c حيث $P\left(V\leq c\right)=1-\alpha =0,9$ في جدول توزيع كاي مربع مع درجة الحرية 5.

باعطاء: $c=\chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}=\chi _{0,90;5}^{2}=9,24$

مجالات القرارات الناتجة هي:

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v>9,24\right\}$

مجال القبول لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq 9,24\right\}$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

نرمي حجر النرد 240 , يشكل التسلسل الناتج للمشاهدات العينة العشوائية البسيطة , بسبب التجارب الفردية مستقلة عن بعضها البعض يلخص الجدول التالي البيانات:

$x_{j}$	التكرارات المشاهدة$h_{j}$	التكرارات المتوقعة$np_{j}$	$h_{j}-np_{j}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}/np_{j}$
1	52	40	12	144	3,6
2	50	40	10	100	2,5
3	32	40	-8	64	1,6
4	36	40	-4	16	0,4
5	32	40	-8	64	1,6
6	38	40	-2	4	0,2

تعطى قيمة الاختبار الاحصائي بواسطة جمع العمود الأخير حيث: $v=9,8$

قرار الاختبار والتعاريف

تقع قيمة الاختبار الاحصائي $v$ في مجال الرفض لأجل $H_{0}$ سنرفض الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n=240$

ومستوى الدلالة $\alpha =0,1$. لم نبرهن احصائيا أن حجر النرد مستقل وحر أي : التوزيع الاحتمالي الحقيقي الى $X$ الرقم الظاهر فوق حجر النرد هو توزيع منتظم منقطع.

في العينات المعادة احتمال عمل خطأ النوع الأول لا يتجاوز مستوى الدلالة المعطى $\alpha =0,1$.