مثال: تقدير الامكانية العظمى للتوزيع الأسي

مثال: تقدير الامكانية العظمى للتوزيع الأسي

بانتظار رحلته يسلي رجل الأعمال نفسه بقياس الزمن (الدقائق ) بين الهبوطات على مدرج المطار. سجل الملاحظات التالية :

3, 6, 6, 4, 8, 2, 4, 5, 9, 3.

المتغير العشوائي $X$ هو مجال الزمن بين الهبوطات والمفترضة بالتوزيع الأسي مع العنصر المجهول $\lambda >0$.

يبدأ بتقدير هذا العنصر باستعمال طريقة الامكانية العظمى, يعطى تابع الامكانية للعينة $(x_{1},\ldots ,x_{10})$ بواسطة:

$=\lambda e^{-3\lambda }\cdot \lambda e^{-6\lambda }\cdot \lambda e^{-6\lambda }\cdot \lambda e^{-4\lambda }\cdot \lambda e^{-8\lambda }\cdot \lambda e^{-2\lambda }\cdot \lambda e^{-4\lambda }\cdot \lambda e^{-5\lambda }\cdot \lambda e^{-9\lambda }\cdot \lambda e^{-3\lambda }$	$\,L(\lambda |3,6,6,4,8,2,4,5,9,3)$
	$\,=\lambda ^{10}e^{-50\lambda }$

يعطى لوغارتم الامكانية العظمى بواسطة:

$\log L(\lambda )=10\log \lambda -50\lambda$

بالتفاضل الى $\lambda$ ووضعها مساوية للصفر نحصل:

${\frac {\partial \log L(\lambda )}{\partial \lambda }}={\frac {10}{\widehat {\lambda }}}-50=0$

ينتج بحل المعادلة الخطية مقدر الامكانية العظمى ${\widehat {\lambda }}$ الى $\lambda$

${\widehat {\lambda }}={\frac {10}{50}}=0.2=1/{\bar {x}}$

ينتج لدينا بالاشتقاق الثاني:

${\frac {\partial ^{2}\log L(\lambda )}{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {10}{\lambda ^{2}}}$

حيث الشرط الكافي للتعظيم محقق.