المعلومات الاضافية لتوزيع العينات

المعلومات الاضافية لتوزيع العينات

نعتبر المجتمع مع تابع التوزيع $F(x)\,$ , القيمة المتوقعة $E(X)=\mu \,$ والتباين $Var(X)=\sigma ^{2}\,$

المتغيرات العشوائية $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ لها نفس تابع التوزيع $F(x_{i})=F(x)\,$, التوقع $E(X_{i})=\mu \,$ والتباين $Var(X_{i})=\sigma ^{2}\,$.

توقع متوسط العينة ${\bar {x}}$

باستعمال قواعد التوقع للتركيب الخطي للمتغيرات العشوائية من السهل حساب:

$E({\bar {x}})=E\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}E\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}E(X_{i})={\frac {1}{n}}\cdot n\cdot \mu =\mu$

مع: $E(X_{i})=\mu \,$

تعطى هذه النتيجة تحت العينة العشوائية مع أو بدون اعادة وصالحة لأي حجم عينة موجب n

تباين متوسط العينة ${\bar {x}}$

1- تحت العينة العشوائية مع الاعادة

$=E[({\bar {x}}-E({\bar {x}}))^{2}]=E[({\bar {x}}-\mu )^{2}]$	$Var({\bar {x}})$
	$=E\left[\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )\right)^{2}\right]$
	$=E\left[\left({\frac {1}{n}}(X_{1}-\mu )+\dots +{\frac {1}{n}}(X_{n}-\mu )\right)^{2}\right]$
	$={\frac {1}{n^{2}}}[E(X_{1}-\mu )^{2}+\dots +E(X_{n}-\mu )^{2}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{j\neq i}E(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu )]$
	$={\frac {1}{n^{2}}}[Var(X_{1})+\dots +Var(X_{n})+\sum \limits _{i}\sum \limits _{j\neq i}Cov(X_{i},X_{j}]$

لكل $i=1,\ldots ,n$, $Var(X_{i})=\sigma ^{2}\,$ لذلك تحت العينة العشوائية مع

الاعادة المتغيرات العشوائية مستقلة ولذلك لدينا: $Cov(X_{i},X_{j})=0\,$.

يبسط تباين متوسط العينة الى

$Var({\bar {x}})={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

نلاحظ تباين ${\bar {x}}$ مساوي الى تباين متغير المجتمع $X\,$ مقسما على $n\,$

يشير ذلك أن أصغر من ولذلك ينقص مع زيادة $n\,$.

بكلمات أخرى : لأجل $n\,$ كبيرة يتركز توزيع ${\bar {x}}$ حول قيمته المتوقعة $\mu \,$.

2- تحت العينة العشوائية بدون اعادة :

اشتقاق $Var({\bar {x}})$ في حالة العينة العشوائية بدون اعادة مشابهه لكن أكثر صعوبة

بسبب استقلالية المتغيرات العشوائية. بخصوص تصحيح العينة المنتهية, لأجل المجتمعات الكبيرة يكون التقريب

التالي صحيح :

${\frac {N-n}{N-1}}\approx {\frac {N-n}{N}}$

وسيستخدم التصحيح المقرب . في العينات بدون اعادة $n\,$ لا نستطيع تجاوز $N\,$ .

لأجل $n\,$ ثابتة, يقترب تصحيح العينة المنتهية الى 1 مع زيادة $N\,$:

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N-n}{N-1}}=1$

في التطبيقات التصحيح يمكن اهماله اذا $n\,$ صغيرة بشكل نسبي الى $N\,$

قاعدة التجريب: $n/N\leq 0,05$.

على أية حال سيعطي هذا تقريب الى $Var({\bar {x}})$ فقط.

على توزيع ${\bar {x}}$

نفرض $X\,$ تنتج من التوزيع الطبيعي في المجتمع مع التوقع $\mu \,$ والتباين $\sigma ^{2}\,$

في هذه الحالة المتغيرات العشوائية $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ موزعة طبيعيا $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ لكل $i=1,\ldots ,n$.

مجموع $n\,$ المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا المستقلة والمتماثلة وتنتج أيضا التوزيع الطبيعي

$\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim N(n\mu ,{\sqrt {n\sigma ^{2}}})$

يختلف ${\bar {x}}$ عن هذا المجموع فقط بواسطة المعامل الثابت وحينئذ يوزع

بشكل طبيعي ${\bar {x}}\sim N(\mu ,\sigma ({\bar {x}}))$.

حيث التوزيع الطبيعي المعياري مرتب في جداول, تعتبر الصيغة المعيارية التالية الى ${\bar {x}}$

$z={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ({\bar {x}})}}={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}$

حيث ينتج التوزيع الطبيعي المعياري $z\sim N(0,1)$.

بشكل واضح يتوقف استعمال المتغير المعياري $z\,$ على معرفة تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$

اذا تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$ غير معلوم, يقدر التباين الغير المعلوم $\sigma ^{2}\,$ بواسطة

$s^{2}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$

بتقسيم كلا الطرفين على $\sigma ^{2}\,$ يعطي:

$={\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$	${\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}$
$=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sigma }}$	${\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}$

للتبسيط: $y={\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}$

في العينة العشوائية مع الاعادة, $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ مستقلة و $Y\,$ لذلك

مجموع مربعات المتغيرات العشوائية الطبيعية المعيارية المستقلة. ينتج أن $Y\,$ لها توزيع كاي مربع

مع درجات الحرية $f=n-1\,$. باستعمال المتغير العشوائي المعياري $z\,$ لبناء النسبة

$T={\frac {Z}{\sqrt {\frac {Y}{f}}}}$

تعطى الزيادة للمتغير العشوائي $T\,$ وينتج لذلك توزيع t مع درجات الحرية $f=n-\,1$,

(التذكير من الفصل 6 أن المتغير العشوائي t هو نسبة التوزيع الطبيعي المعياري الى الجذر التربيعي لمربع كاي

المستقل مقسما على درجات حريته ). بادخال التعابير لأجل $Z\,$, $Y\,$ و نرتب العبارات لنحصل :

$T={\frac {{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}}{\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}s^{2}\right)}}}={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {x}}-\mu }{s}}$

البيانات الاحتمالية حول ${\bar {x}}$:

اذا توزيع العينات ${\bar {x}}$ يتضمن كل عناصره المعلومة, عندئذ تصنع البيانات الاحتمالية حول

${\bar {x}}$ بالطريقة المعتادة. نفرض شخص ما يريد ايجاد المجال المتناظر حول الوسط الحسابي

الحقيقي والمتضمن ${\bar {x}}$ مع الاحتمال $1-\alpha$. ذلك يعني نحتاج لايجاد c

$[\mu -c\leq {\bar {x}}\leq \mu +c]=1-\alpha$

حيث سيكون سهل استعمال المتغير العشوائي المعياري $Z$, سيفترض التوزيع ليكون متناظر

$\,=1-\alpha$	$P(\mu -c\leq {\bar {x}}\leq \mu +c)$
$\,=1-\alpha$	$P(-c\leq {\bar {x}}-\mu \leq c)$
$\,=1-\alpha$	$P\left({\frac {-c}{\sigma ({\bar {x}})}}\leq {\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ({\bar {x}})}}\leq {\frac {c}{\sigma ({\bar {x}})}}\right)$
$\,=1-\alpha$	$P\left({\frac {-c}{\sigma ({\bar {x}})}}\leq Z\leq {\frac {c}{\sigma ({\bar {x}})}}\right)$
$\,=1-\alpha$	$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)$

$=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$	${\frac {c}{\sigma ({\bar {x}})}}$
$=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma ({\bar {x}})$	$\,c$

لهذا انحراف $c\,$ عن $\mu \,$ هو جداء $\sigma ({\bar {x}})$. ادخال $\sigma ({\bar {x}})$ يقود للمجال:

$\left[\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {x}}\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

مع الاحتمال

$P\left(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {x}}\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

اذا $X\,$ له توزيع طبيعي عندئذ يحدد المجال المركزي للتباين مع كل احتمال معين $1-\alpha \,$

بقراءة $z_{1-a/2}\,$ من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. الاحتمال $1-\alpha \,$ صحيح تقريبا اذا $X\,$ له توزيع عشوائي وحجم العينة $n\,$ كبير بشكل كافي.