المثال الداعم لاستعمال توزيع كاي مربع

تحلل ادارة تجارة الجملة الأعمال , التركيز على طلب بعض المنتجات المتخصصة . أي توزيع يصف التغيرات في

الطلب يتكرر طلب المنتج باستمرار عبر الزمن , وتعتبر طلبات الزبائن مستقلة عن بعضها البعض , بمعنى: كل

الطلبات الاجمالية هي ظواهر عشوائية, دعنا نجزأ الزمن لمجالات مستمرة بطول يوم واحد , عندئذ يشير المتغير

العشوائي $X$ للطلب المقاس للمنتج, تظهر هذه الأوضاع بأن توزيع بواسون سيكون النموذج المناسب للمتغيرات العشوائية في الطلب $X\sim PO(\lambda )$.

ينجز الاختبار عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$, تلخص البيانات في العينة العشوائية البسيطة من الحجم $n=50$ يوم في الجدول

البديل الأول

الفرضيات:

يعتقد أحد الموظفين أن متوسط الكمية المباعة في فترة 5 أيام هي 9 .

يعطى متوسط توزيع بواسون بواسطة $E(X)=\lambda$ ونشاهد المجالات ليوم واحد حيث الحجم المتوقع عندئذ: $\lambda =1,8$

اختبارنا:

$H_{0}$ :

X له توزيع بواسون مع العنصر $\lambda =1.8$ , بمعنى ,

مقابل

$H_{1}$:

X ليس له توزيع بواسون مع العنصر $\lambda =1.8$.

تحتوي الأعمدة 4 و 5 للجدول بالأسفل على الاحتمالات تحت فرض $H_{0}$ $P(X=x_{j}|H_{0})=p_{j}$ (المأخوذة من جدول $PO(1,8)$) والتكرارات المطلقة المتوقعة المتعلقة $np_{j}$

$j$	الطلب ($x_{j})$	التكرارات المشاهدة $x{j}$ $(h_{j})$	$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$	$np_{j}|H_{0}$
1	0	3	0,1653	8,265
2	1	9	0,2975	14,875
3	2	14	0,2678	13,390
4	3	13	0,1607	8,035
5	4	6	0,0723	3,615
6	5	5	0,0260	1,300
7	6 und mehr	0	0,0104	0,520

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

الاختبار الاحصائي لتوزيع كاي مربع هو

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-np_{j}\right)^{2}}{np_{j}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$, $V$ له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=k-m-1$

هل الشروط التقريبية كافية؟

نرى في العمود الخامس للجدول السابق , القيم الفعلية $x_{5}=4$ و $x_{6}=5$ , ليست كافية $np_{j}\geq 5$

القيمة $x_{7}=6$ ليست كافية , نركب هذه القيم الفعلية الثلاثة لداخل فئة واحدة.

تحديد درجات الحرية:

توجد $k=5$ فئات , يتم تحديد توزيع بواسون النظري, العنصر المعطى $\lambda =1.8$ لن يقدر $m=0$, لهذا لدينا $v$ له توزيع كاي مربع التقريبي مع درجة الحرية $f=5-1=4$

نجد القيمة الحرجة $c$ لأجل $P(V\leq c)=0,95$ في جدول توزيع كاي مربع مع درجة الحرية 4

$c=\chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}=\chi _{0,95;4}^{2}=9,49$

مجالات القرار هي:

مجال الرفض لأجل $H_{0}$ :

$\;\left\{v|v>9,49\right\}$

مجال القبول لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq 9,49\right\}$.

حساب قيمة الاختبار الاحصائي

يلخص الجدول التالي بيانات العينة في عبارات مركبات الاختبار الاحصائي للتبويب الجديد

$x_{j}$	$h{j}$	$np_{j}$	$h_{j}-np_{j}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}/np_{j}$
0	3	8,265	-5,265	27,7202	3,3539
1	9	14,875	-5,875	34,5156	2,3204
2	14	13,390	0,610	0,3721	0,0278
3	13	8,035	4,965	24,6512	3,0680
4 und mehr	11	5,435	5,565	30,9692	5,6981

بجمع كل القيم الخمسة في العمود الأخير , تعطى قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية $v=14,4682$.

قرار الاختبار والتعاريف

عندما تقع قيمة الاختبار الاحصائي في مجال الرفض لأجل $H_{0}$ سنرفض الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n=50$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$

سنثبت احصائيا أن المتغير العشوائي $X$: الطلبات اليومية للمنتج المعتبر ليس لديها توزيع بواسون مع العنصر $PO(1,8)$.

واذا قررنا لصالح الفرضية البديلة سنعمل خطأ النوع الأول هذه الحالة اذا $PO(1,8)$ هو التوزيع الحقيقي الى $X$

يعطى احتمال الحدوث هذا في العينات المعادة بواسطة مستوى الدلالة$\alpha =0,05$.

البديل الثاني

الفرضيات:

نحافظ على افتراضنا بأن توزيع بواسون هو النموذج المناسب للطلب: $X\sim PO(\lambda )$.

لا نملك هذه المرة أي معلومات مسبقة حول العنصر $\lambda$ ولذلك نقدر قيمته من البيانات سنستعمل العينة من الحجم $n=50$ كما في البديل الأول.

بتطبيق طريقة مبدأ تقدير العزوم نقدر $E(X)=\lambda$ مع عزم العينة الأولى:

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

الوسط الحسابي في العينة المشاهدة هو ${\overline {x}}=125/50=2,5$ ولدينا زوج الفرضيات التالية :

$H_{0}$:

X له توزيع بواسون مع العنصر $\lambda =2.5$

مقابل

$H_{1}$:

X ليس له توزيع بواسون مع العنصر $\lambda =2.5$

في الأعمدة 4 و 5 للجدول التالي نجد الاحتمالات بواسطة $H_{0}$:

$P(X=x_{j}|H_{0})=p_{j}$ (المأخوذة من جدول $PO(2,5)$ ) والتكرارات المطلقة المتوقعة المتعلقة $np_{j}$

$j$	الطلب $x_{j}$ $(x_{j})$	التكرارات المشاهدة $x{j}$ $h{j}$	$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$	$np_{j}|H_{0}$
1	0	3	0,0821	4,105
2	1	9	0,2052	10,260
3	2	14	0,2565	12,825
4	3	13	0,2138	10,690
5	4	6	0,1336	6,680
6	5	5	0,0668	3,340
7	6 und mehr	0	0,0420	2,100

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

مرة ثانية نستعمل الاختبار الاحصائي:

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-np_{j}\right)^{2}}{np_{j}}}$

ونعرف له توزيع كاي مربع مع درجات الحرية $f=k-m-1$ .

التحقق من شروط التقريب:

كما رأينا في العمود الخامس للجدول 3 , القيمة الفعلية $x_{1}=0$ ليست كافية لشرط التقريب $np_{j}\geq 5$

نثبت هذا بدمجه مع القيمة الفعلية الثانية $x_{2}$

النتيجة الممكنة السادسة والسابعة $x_{6}=5$ $x_{7}=6$ لا تتوقع أن تكون تكرارات كافية مشاهدة تحت الفرضية الصفرية. نبوبهم في فئة واحدة .

حساب درجات الحرية:

بعد التبويب توجد $k=5$ فئات, سيقدر عنصر توزيع بواسون فرض التخفيض لواحد: $m=1$

حينئذ لدينا درجات الحرية $f=5-1-1=3$.

$V$ له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية 3.

القيمة $V$ لأجل $P(V\leq c)=0,95$ ستشاهد في جدول توزيع كاي مربع مع درجة الحرية 3

$c=\chi _{1-\alpha ;f}^{2}=\chi _{0,95;3}^{2}=7,81$ تحدد القيمة الحرجة مجالات القرار :

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

$\left\{v|v>7,81\right\}$

مجال القبول لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq 7,81\right\}$.

حساب قيمة الاختبار الاحصائي

يحتوي الجدول التالي بيانات العينة في عبارات مركبات الاختبار الاحصائي:

$x_{j}$	$h{j}$	$np_{j}$	$h_{j}-np_{j}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}$	$\left(h_{j}-np_{j}\right)^{2}/np_{j}$
0-1	12	14,365	-2,365	5,5932	0,3894
2	14	12,825	1,175	1,3806	0,1076
3	13	10,690	2,310	5,3361	0,4992
4	6	6,680	-0,680	0,4624	0,0692
5 und mehr	5	5,440	-0,440	0,1936	0,0356

تحسب قيمة الاختبار الاحصائي بأخذ مجموع العمود الأخير: $v=1,101$.

قرار الاختبار والتعريف

لما قيمة الاختبار الاحصائي $v$ تقع في مجال القبول لأجل $H_{0}$ سنقبل الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n=50$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$.

لا نستطيع البرهان احصائيا أن المتغير العشوائي $X$: الطلبات اليومية للمنتج المعتبر لا تتبع توزيع بواسون مع العنصر $PO(2,5)$

عملنا خطأ النوع الثاني بالرغم الفرضية الصفرية ليست صحيحة في العينات المعادة احتمال هذا الخطأ مجهول.