المثال الداعم لاختبار الفرق بين متوسطي المجتمعين

المثال الداعم لاختبار الفرق بين متوسطي المجتمعين

تزور الطالبة علا مزرعتين لبيع البيض الطازج. لدى المزرعتين سلالتين مختلفتين من الدجاج , تأخذ علا 10

بيضات بشكل عشوائي من المزرعة الأولى و 15 بيضة من المزرعة الثانية ثم تعود للمنزل. لديها انطباع

أن البيضات العائدة للدجاجات من المزرعة الأولى أثقل من بيضات المزرعة الثانية , للتحقق من هذا

الادعاء, تجري الاختبار الاحصائي عند مستوى الدلالة $\alpha$

تقارن علا بين متوسطي الوزنين باختبار الفرق $\mu _{1}-\mu _{2}$ للمتوسطين.

الفرضيات:

لدى علا السبب للاعتقاد بأن متوسط الوزن لبيضة واحدة تختلف بشكل كبير عن الأخرى. نجري الاختبار الأحادي

الفردي , تريد الاختبار احصائيا أن المزرعة الأولى تنتج البيض الأكثر وزنا ثم تضع هذا الافتراض كفرضية بديلة.

تأمل علا بأن عينتها سترفض الفرضية الصفرية , لكن علا ليست لديها أي فكرة حول كبر فرق متوسطي الوزنين .

وتضع الفرق النظري كالتالي: $\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}=0$

تصيغ اختبارها كالتالي :

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}\leq 0\quad H_{1}:\;\mu _{1}-\mu _{2}>0$

أو بشكل مكافئ :

$H_{0}:\;\mu _{1}\leq \mu _{2}\quad H_{1}:\;\mu _{1}>\mu _{2}$

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

اختارت علا البيضات بشكل عشوائي , بالعموم هي لا تحاول الحصول على البيضات الأكبر من مزرعة عن أخرى.

بشكل طبيعي تسحب العينة بدون اعادة, لكن نفرض أيضا أن مجتمع البيض المنتج يوميا لكلا المزرعتين كبير بشكل كافي.

لتبرير فرض العينة العشوائية البسيطة , بشكل واضح تسحب علا العينات بشكل مستقل من كلا المزرعتين .

تفرض علا المتغيرات العشوائية : $X_{1}$ وزن البيضة للسلالة الأولى من الدجاج,

$X_{2}$ وزن البيضة للسلالة الثانية من الدجاج, وهذه المتغيرات لها التوزيع الطبيعي:

$X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\;\sigma _{1}\right)$ و $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\;\sigma _{2}\right)$.

التوقعات: $E\left(X_{1}\right)=\mu _{1}$ و $E\left(X_{2}\right)=\mu _{2}$ و التباينات: $Var\left(X_{1}\right)=\sigma _{1}^{2}$ و $Var\left(X_{2}\right)=\sigma _{2}^{2}$ غير معلومة.

لتبسيط القضية , تفرض علا تباينات المجتمعين متجانسة $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$, تبني علا اختبارها على الاختبار الاحصائي التالي:

$V={\frac {\left({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\right)-\omega _{0}}{\sqrt {{\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}\,n_{2}}}\;{\frac {\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

هنا $n_{1}=10$ و $n_{2}=15$ أحجام العينتين. ${\overline {X}}_{1}$ و ${\overline {X}}_{2}$ متوسطي العينتين, $S_{1}^{2}$ و $S_{2}^{2}$ تقديرات $\sigma _{1}^{2}$ و $\sigma _{2}^{2}$.

تحت الفرضية الصفرية $H_{0}$, $V$ له توزيع-t مع $f=n_{1}+n_{2}-2=10+15-2=23$ درجة الحرية.

من جدول-t نجد قيمة $t_{0,95;23}=1,714$ لتكون القيمة الحرجة $c$,

$P\left(V\leq c\right)=1-\alpha =0,95$

وعندئذ لدينا مجالات القرار التالية :

مجال القبول لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq 1,714\right\}$

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

$\;\left\{v|v>1,714\right\}$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

تزن علا البيضات وتحسب الأوساط الحسابية والتباين لكلا العينتين:

العينة الأولى:

${\overline {x}}_{1}=65,700\quad s_{1}^{2}=50,35$

العينة الثانية:

${\overline {x}}_{2}=60,433\quad s_{2}^{2}=42,46$

باستعمال $\omega _{0}=0$ تحسب قيمة الاختبار الاحصائي $v=1,91$.

قرار الاختبار والتعريف

تقع قيمة الاختبار الاحصائي $v=1,91$ في مجال الرفض للفرضية الصفرية لهذا لا تستطيع علا

الاثبات احصائيا على أساس العينتين العشوائتين المستقلتين من الحجم $n_{1}=10$ و $n_{2}=15$

ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$ بأن الفرق $\mu _{1}-\mu _{2}$ لمتوسطي المجتمعين لأوزان البيض له دلالة احصائية سالبة.

لهذا تقبل علا الفرضية البديلة بأن البيضات من سلالة الدجاج الأولى (المزرعة الأولى) أثقل وزنا من بيضات السلالة الثانية (المزرعة الثانية).