المثال التوضيحي : مجالات الثقة لنسبة المجتمع

المثال التوضيحي : مجالات الثقة لنسبة المجتمع

زعيم حزب سياسي F مهتم لمعرفة نسبة المواطنين الذين سيصوتون له اذا أجريت انتخابات.

يجرى مسح عينة من $n=2000$ مواطن ويسألوا السؤال التالي:

"اذا أجريت الانتخابات غدا لأي حزب تصوت؟ "

وفقا لمسح العينة 103 مواطنين سيصوتون لزعيم الحزب السياسي F , نريد تقدير مجال الثقة لأجل $\pi$ بدرجة ثقة 95% حيث $\pi$ نسبة الأصوات الممنوحة الى زعيم الحزب السياسي F.

نلاحظ التالي:

• لضمان المواطن الذي سئل من قبل في العينة , لن يسأل مرة ثانية , لذلك نختار العينة بدون اعادة .

• حيث الاهتمام متركز على زعيم الحزب , يعرف الحادث $A$ "الأصوات لأجل F " والحادث المتمم ${\bar {A}}$ "الأصوات غير الممنوحة لأجل F ".

لهذا نرى المجتمع ثنائي التصنيف , نفرض نسبة الأصوات لأجل الزعيم السياسي F هي

• حجم العينة كبير بشكل كافي $n=2000$, لهذا يمكن بناء مجال الثقة التقريبي باستعمال التقريب الطبيعي .

$\left[{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}},\quad {\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right]$

عند درجة الثقة التقريبي 95 % نحصل $z_{0,975}=1,96$.

تنتج نتائج مسح العينة ${\widehat {\pi }}=103/2000=0,0515$

ومجال الثقة الموافق عند درجة الثقة 95%.

$\left[0,0515-1,96\cdot {\sqrt {\frac {0,0515\cdot 0,9485}{2000}}},\quad 0,0515+1,96\cdot {\sqrt {\frac {0,0515\cdot 0,9485}{2000}}}\right]$