المثال التوضيحي للمبادئ الأساسية لنظرية العينات

المثال التوضيحي للمبادئ الأساسية لنظرية العينات

يوجد $N=7$ مشاركين في الامتحان لدورة ما عند مستوى التخرج. يعطي الجدول 1 النتائج التالية:

الجدول 1 :

الطالب	A	B	C	D	E	F	G
العلامة	10	11	11	12	12	12	16

المتغير X = " العلامة في الامتحان" له التوزيع التكراري التالي في المجتمع.

الجدول2:

$x\,$	$h(x)\,$	$f(x)=h(x)/N\,$	$F(x)\,$
$10$	$1$	$1/7$	$1/7$
$11$	$2$	$2/7$	$3/7$
$12$	$3$	$3/7$	$6/7$
$16$	$1$	$1/7$	$7/7$

من هذا التوزيع يمكن حساب الوسط الحسابي, التباين والانحراف المعياري للمتغير $X\,$ في المجتمع.

$\mu =12,\;\quad \sigma ^{2}=22/7=3,143,\;\quad \sigma =1,773$

الاختيار العشوائي للامتحان من هذا المجتمع وتسجيل العلامة يسبب المتغير العشوائي والذي يرمز $X\,$

تطابق التكرارات النسبية في المجتمع للاحتمالات بأن الامتحان مع نتيجة معطاة سيكون مختار لذلك يملك المتغير العشوائي $X\,$ التابع الاحتمالي $f(x)\,$

وتابع التوزيع التجميعي $F(x)\,$

المعروض في الجدول 2 بالاضافة للقيمة المتوقعة $\mu =12\,$ والتباين $\sigma ^{2}=\,3,143$

العينة العشوائية مع الاعادة

بفرض الامتحانين مختارين بشكل عشوائي من المجتمع وتسجل نتائجهما لكن بعد كل عملية سحب, نعيد الامتحان

المختار الى المجتمع قبل اختيار الامتحان القادم. المتغيرات العشوائية: $X_{1}\,$ "نتيجة الامتحان الأول", $X_{2}\,$ "نتيجة الامتحان الثاني".

ستعرف وفقا لذلك: يبين الجدول 3 كل العينات الممكنة من الحجم $n=2$

الجدول 3:

الامتحان 1	الامتحان 2
	10	11	11	12	12	12	16
10	10;10	10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12	16;16

احتمال الحصول على واحد من هذه العينات هو $1/49$, نستنتج بشكل بسيط توابع الاحتمال $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ من الجدول 3 .

الجدول 4 :

$x_{1}\,$	$h(x_{1})\,$	$f(x_{1})\,$	$x_{2}\,$	$h(x_{2})\,$	$f(x_{2})\,$
$10$	$7$	$7/49=1/7$	$10$	$7$	$7/49=1/7$
$11$	$14$	$14/49=2/7$	$11$	$14$	$14/49=2/7$
$12$	$21$	$21/49=3/7$	$12$	$21$	$21/49=3/7$
$16$	$7$	$7/49=1/7$	$16$	$7$	$7/49=1/7$

توابع الاحتمال $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ متماثلة مع بعضها البعض و أيضا مع توزيع المتغير $X\,$ في المجتمع.

نستنتج تابع التوزيع الاحتمالي ثنائي البعد $f(x_{1},\;x_{2})$ من الجدول 3 .

الجدول 5

$X_{1}\,$	$X_{2}\,$				$f(x_{1})\,$
	10	11	12	16
10	1 / 49	2 / 49	3 / 49	1 / 49	1 / 7
11	2 / 49	4 / 49	6 / 49	2 / 49	2 / 7
12	3 / 49	6 / 49	9 / 49	3 / 49	3 / 7
16	1 / 49	2 / 49	3 / 49	1 / 49	1 / 7
$f(x_{2})\,$	$1/7$	$2/7$	$3/7$	$1/7$	1

يحتوي العمود الأخير للجدول 5 التوزيع الهامشي الى $X_{1}\,$ ويحتوي السطر الأخير التوزيع

الهامشي الى $X_{2}\,$ المعطى مسبقا في الجدول 4 .

لكل خلية في الجدول 5 بمعنى لكل زوج ($x_{1},\;x_{2}$) لدينا:

$f(x_{1},x_{2})=f(x_{1})\cdot f(x_{2})$

المتغيرات العشوائية $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ مستقلة.

العينة العشوائية بدون الاعادة

نسحب الامتحانين عشوائيا وبدون اعادة والمتغيرات العشوائية $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ معرفة من قبل. يبين الجدول 6 كل العينات الممكنة من الحجم $n=2$

الجدول 6

الامتحان 1	الامتحان 2
	10	11	11	12	12	12	16
10		10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10		11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11		11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11		12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12		12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12		12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12

احتمال الحصول على واحد من هذه العينات هو 1/42. نستنتج بشكل بسيط توابع الاحتمال الى $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ من الجدول 6.

الجدول 7

$x_{1}\,$	$h(x_{1})\,$	$f(x_{1})\,$	$x_{2}\,$	$h(x_{2})\,$	$f(x_{2})\,$
$10$	$6$	$6/42=1/7$	$10$	$6$	$6/42=1/7$
$11$	$12$	$12/42=2/7$	$11$	$12$	$12/42=2/7$
$12$	$18$	$18/42=3/7$	$12$	$18$	$18/42=3/7$
$16$	$6$	$6/42=1/7$	$16$	$6$	$6/42=1/7$

ليس مفاجئا أن $f(x_{1})\,$ تابع الاحتمال الى $X_{1}\,$ متماثل لتوزيع $X\,$ في المجتمع.

على أية حال , في العينة العشوائية بدون اعادة, يتغير توزيع المجتمع بعد عملية السحب الأولى بسبب عدم ارجاع السحوبات.

يعتمد توزيع عملية السحب الثانية على القيمة المعينة لعملية السحب الأولى اذا أنتجت عملية السحب

الأولى الامتحان مع النتيجة 10 نقاط ($X_{1}=10$), عندئذ الشرط لعملية السحب الأولى

احتمال سحب الامتحان مع النتيجة 10 في عملية السحب الثانية هو صفر $P(X_{2}=10|X_{1}=10)=0$

لأنه لا يوجد امتحان مع النتيجة 10 نقاط. يحتوي كل عمود في الجدول 8 التوزيع الاحتمالي الشرطي لعملية

السحب الثانية بشرط القيمة المعينة المعطاة لعملية السحب الأولى.

الجدول 8

$x_{2}\,$	$P(X_{2}=x_{2}|X_{1}=10)\,$	$P(X_{2}=x_{2}|X_{1}=11)\,$	$P(X_{2}=x_{2}|X_{1}=12)\,$	$P(X_{2}=x_{2}|X_{1}=16)\,$
$10$	$0$	$3/6$	$1/6$	$1/6$
$11$	$2/6$	$1/6$	$2/6$	$2/6$
$12$	$3/6$	$3/6$	$2/6$	$3/6$
$16$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$0$
$\sum$	$1$	$1$	$1$	$1$

الاحتمال غير الشرطي (أو المكافئ الاحتمال الهامشي) أن $X_{2}\,$ تأخذ قيمة معينة $x_{2}$ بمعنى $P(X_{2}=x_{2})=f(x_{2})\,$ ستحسب من قانون الاحتمالات الكلية.

$P(X_{2}=10)=P(X_{2}=10|X_{1}=10)\cdot P(X_{1}=10)+P(X_{2}=10|X_{1}=11)\cdot P(X_{1}=11)+P(X_{2}=10|X_{1}=12)\cdot P(X_{1}=12)+P(X_{2}=10|X_{1}=16)\cdot P(X_{1}=16)=0\cdot 1/7+1/6\cdot 2/7+1/6\cdot 3/7+1/6\cdot 1/7=6/42=1/7$

$P(X_{2}=11)=P(X_{2}=11|X_{1}=10)\cdot P(X_{1}=10)+P(X_{2}=11|X_{1}=11)\cdot P(X_{1}=11)+P(X_{2}=1|X_{1}=12)\cdot P(X_{1}=12)+P(X_{2}=11|X_{1}=16)\cdot P(X_{1}=16)=2/6\cdot 1/7+1/6\cdot 2/7+2/6\cdot 3/7+2/6\cdot 1/7=12/42=2/7$

$P(X_{2}=12)=P(X_{2}=12|X_{1}=10)\cdot P(X_{1}=10)+P(X_{2}=12|X_{1}=11)\cdot P(X_{1}=11)+P(X_{2}=2|X_{1}=12)\cdot P(X_{1}=12)+P(X_{2}=12|X_{1}=16)\cdot P(X_{1}=16)=3/6\cdot 1/7+3/6\cdot 2/7+2/6\cdot 3/7+3/6\cdot 1/7=18/42=3/7$

$P(X_{2}=16)=P(X_{2}=16|X_{1}=10)\cdot P(X_{1}=10)+P(X_{2}=16|X_{1}=11)\cdot P(X_{1}=11)+P(X_{2}=6|X_{1}=12)\cdot P(X_{1}=12)+P(X_{2}=16|X_{1}=16)\cdot P(X_{1}=16)=1/6\cdot 1/7+1/6\cdot 2/7+1/6\cdot 3/7+0\cdot 1/7=6/42=1/7$

تذكر هذه الاحتمالات في الجدول 7 عندئذ $f(x_{2})\,$ متماثل الى $f(x_{1})\,$

وكلاهما متماثلين لتوزيع المجتمع على أية حال $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ ليست مستقلة.

ذلك ممكن رؤيته من التوزيعات الشرطية في الجدول 8 (التي لا تكون متماثلة) كذلك من التوزيع المشترك

ثنائي البعد $f(x_{1},\;x_{2})\,$ المحسوب من الجدول 6

الجدول 9 :

$X_{1}\,$	$X_{2}\,$				$f(x_{1})\,$
	10	11	12	16
10	0	$2/42$	$3/42$	$1/42$	$1/7$
11	$2/42$	$4/42$	$6/42$	$2/42$	$2/7$
12	$3/42$	$6/42$	$9/42$	$3/42$	$3/7$
16	$1/42$	$2/42$	$3/42$	$1/42$	$1/7$
$f(x_{2})\,$	$1/7$	$2/7$	$3/7$	$1/7$	1

من الواضح : $f(x_{1},\;x_{2})\neq f(x_{1})\cdot f(x_{2})$.

و عندئذ $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ ليست مستقلة.

الخاتمة: $X_{1}\,$ و $X_{2}\,$ موزعة بشكل متماثل ولها نفس التوزيع كما المتغير $X\,$ في المجتمع لكن لا تكون مستقلة.