اختبار متوسط المجتمع

اختبار متوسط المجتمع

شركة لتعبئة الطحين تملئ الألة 1000 غرام لكل علبة, بالطبع احتمال أي علبة تحتوي بالضبط 1 كغ

هو صفر (الوزن كمتغير مستمر) واذا أخذنا لمتوسط دقة القياس سنتوقع بعض التقلبات حول المحتوى

المطلوب (النظري) 1 كغ.

الانتاج الفعلي لكن بدون المعرفة السابقة لا نستطيع التأكد اذا متوسط الوزن للانتاج بشكل فعلي 1 كغ.

لدينا متوسطات الاختبار لهذا التابع الاحصائي نشير بواسطة $X$ للوزن الصافي الفعلي لكل علبة.

نحن مهتمون في توقع هذا المتغير العشوائي بمعنى: متوسط وزن العلبة الصافية $E(X)=\mu$, هل تقترب بشكل كافي الى $\mu _{0}=1$؟

الكمية المثالية التي نريد الألة أن تملئ كل علبة؟

تعدل الألة من وقت لوقت الانتاج احصائيا تقترب بشكل كافي للوزن المطلوب.

يأخذ المنتج بشكل منتظم العينات لتقييم الدقة الحالية لاجراءات التعبئة , اذا المتوسط لأي من هذه العينات تختلف احصائيا بشكل دلالي عن القيمة النظرية $\mu _{0}$

الفرضيات

تهتم الادارة بالانحرافات للصيغة الفعلية للوزن المطلوب $\mu _{0}=1$ في كلا الاتجاهين لهذا يشار للاختبار الثنائي الجانب:

$H_{0}:\mu =\mu _{0}\quad H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$

حيث : $\mu _{0}=1000$

حجم العينة ومستوى الدلالة

يقرر الاحصائيون ليختبروا عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$ ويسألوا الفنيين لاستخلاص العينة من $n=25$ علبة.

كمجتمع ذلك يعني لكل الانتاج الاجمالي كبير بالمقارنة مع حجم العينة يعتبر الاحصائيون العينة كعينة عشوائية بسيطة.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه,مجالات القرار

المقدر لمتوسط المجتمع المجهول $E(X)=\mu$ هو متوسط العينة ${\bar {X}}$.

تثبت التجربة بأن الوزن الفعلي سيقرب ليقترب بواسطة التوزيعات الطبيعية مع الانحراف المعياري $\sigma =10$ غرام , المقدر ${\bar {X}}$ عندئذ له توزيع طبيعي مع الانحراف المعياري $\sigma ({\bar {X}})=2$ غرام .

تحت الفرضية $H_{0}$ بمعنى: يساوي عنصر المجتمع الحقيقي $\mu$ العنصر النظري $\mu _{0}$

لهذا ${\bar {X}}$ لها التوزيع الطبيعي مع العناصر $\mu =1000$ غرام و $\sigma =2$ غرام.

${\overline {X}}{\mbox{ }}H_{0}\sim N(1000;\;2)$

يعطى الاختبار الاحصائي $V$

$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}$

ويتبع التوزيع الطبيعي المعياري:

$V{\mbox{ }}H_{0}\sim N(0;\;1)$

يمكن مشاهدة القيمة الحرجة العليا $c_{o}=z_{0,975}=1,96$ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري التجميعي باستعمال تناظر المنحنى الطبيعي لذلك لدينا: $c_{o}=-z_{0,975}=-1,96$.

مجال القبول للفرضية $H_{0}$

$H_{0}:\;\left\{v|-1,96\leq v\leq 1,96\right\}$

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$

$H_{0}:\;\left\{v|v<-1,96{\mbox{ , }}v>1,96\right\}$

مجال الرفض $H_{0}$| مجال القبول$H_{0}$| مجال الرفض $H_{0}$

سحب العينة وحساب الاختبار الاحصائي

نختار 25 علبة بشكل عشوائي ونزن محتواهم الصافي, الوسط الحسابي لهذه القياسات هو ${\bar {x}}=996,4$ وتكون قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية

$v={\frac {996,44-1000}{2}}=-1,8$

قرار الاختبار والتعاريف

لما $v=-1,8$ تقع في مجال القبول للفرضية $H_{0}$ سنقبل الفرضية $H_{0}$ على أساس العينة من الحجم $n=25$

قيمة المتوسط النظرية $\mu _{0}=1000$ غرام لم تبين الاختلاف الاحصائي بشكل دلالي عن قيمة العنصر الحقيقية $\mu$. لا يمكننا التأكد أن اجراءات التعبئة غير دقيقة.

القوة

عدم رفض الفرضية الصفرية نأخذ حتما خطر عمل خطأ النوع الثاني بمعنى الفرضية البديلة صحيحة ورفضناها.

يجب تقييم مصداقية قرارانا في عبارات احتمالات خطأ النوع الثاني لأجل قيم العنصر التي تختلف في الفرضية الصفرية وتعطي بواسطة $1-G(\mu )$

نفرض 1002 غرام متوسط الوزن الحقيقي والفرضية البديلة لذلك صحيحة. كقوة نعين الاحتمالات للقرارات الصحيحة لقيم العنصر الحقيقية البديلة هو الاحتمال $G(\mu =1002)$ لعمل القرار الصحيح (بالضبط رفض الفرضية الصفرية).

$P\left('H_{1}'|H_{1}\right)=1-\beta$

وضع $\mu _{0}=1000,\;\alpha =0,05,\;\sigma =10$ و$n=25$ في الصيغة للقوة تعطي:

$=1-\left[P\left(V\leq 1,96-{\frac {1002-1000}{2}}\right)-P\left(V\leq -1,96-{\frac {1002-1000}{2}}\right)\right]$	$G\left(\mu =1002\right)$
	$=1-\left[P\left(V\leq 0,96\right)-P\left(V\leq -2,96\right)\right]$
	$=1-\left[P\left(V\leq 0,96\right)-\left(1-P\left(V\leq 2,96\right)\right)\right]$
	$=1-\left[0,831472-\left(1-0,998462\right)\right]$
	$=1-0,829934$
	$=0,17=1-\beta$

احتمال عمل خطأ النوع الثاني اذا متوسط المجتمع الحقيقي هو $\mu =1002$ لذلك:

اذا متوسط الوزن الحقيقي هو 1,002: 83% من كل العينات من الحجم $n=25$ لن تحول لقرار الاختبار الاحصائي (رفض الفرضية الصفرية) لأجل مستوى الدلالة المعطاة $\alpha =0,05$ حيث

$\mu -\mu _{0}=1002-1000$ هو الانحراف النسبي الصغير, بعبارات احصائية احتمال خطأ النوع الثاني كبير.

اذا من جهة أخرى 989 غرام هو متوسط الوزن الحقيقي ,$G(\mu =989)$ تعود لاحتمال عمل القرار الصحيح في رفض الفرضية الصفرية

ونحسب:

و

في هذه الحالة , فقط 0,02 % من كل العينات ستنتج في قبول الفرضية الصفرية وحينئذ القرار الخاطئ , احتمال خطأ النوع الثاني صغير بسبب الفرق الكبير $\mu -\mu _{0}=989-1000$ في العبارات الاحصائية.

يتضمن الجدول التالي قيم $G(\mu )$ و $1-G(\mu )$ , لمتوسطات المجتمع الحقيقية المختارة $\mu$ باعطاء $\mu _{0},\;\alpha ,\;\sigma$ و $n$

$\mu$	الفرضيات الحقيقية	$G\left(\mu \right)$	$1-G\left(\mu \right)$
988,00	$H_{1}$	$0,999973=1-\beta$	$\$0,000027=\beta$
$990,40$	$H_{1}$	$0,997744=1-\beta$	$0,002256=\beta$
$992,80$	$H_{1}$	$0,949497=1-\beta$	$0,050503=\beta$
$995,20$	$H_{1}$	$0,670038=1-\beta$	$0,329962=\beta$
$997,60$	$H_{1}$	$0,224416=1-\beta$	$0,775584=\beta$
$1000,00$	$H_{0}$	$0,05=\alpha$	$0,95=1-\alpha$
$1002,40$	$H_{1}$	$0,224416=1-\beta$	$0,775584=\beta$
$1004,80$	$H_{1}$	$0,670038=1-\beta$	$0,329962=\beta$
$1007,20$	$H_{1}$	$0,949497=1-\beta$	$0,050503=\beta$
$1009,60$	$H_{1}$	$0,997744=1-\beta$	$0,002256=\beta$
$1012,00$	$H_{1}$	$0,999973=1-\beta$	$0,000027=\beta$

يبين الشكل البياني التالي منحنى القوة:

يمكننا تغيير شكل منحنى القوة لأجل مستوى الدلالة الثابت $\alpha =0,05$ بزيادة حجم العينة $n$

سنوضح تأثير التغير في حجم العينة لأجل قيمتي العنصر الصحيحة (النظرية) $\mu =1002$ و $\mu =989$

تبقى عناصر الاختبار الأخرى ثابتة $\alpha =0,05,\;\mu _{0}=1000$ و $\sigma =10$

	$n=9$	$n=16$	$n=25$	$n=36$
$G\left(1002\right)=1-\beta$	$0,0921$	$0,126$	$0,17$	$0,224$
$\beta \left(\mu =1002\right)$	$0,9079$	$0,874$	$0,83$	$0,776$
$G\left(\mu =989\right)=1-\beta$	$0,91$	$0,993$	$0,9998$	$0,999998$
$\beta \left(\mu =989\right)$	$0,09$	$0,007$	$0,0002$	$0,000002$

يعرض الشكل البياني التالي القوة للاختبار الثنائي الجانب لأحجام العينات البديلة الأربعة عندما يوجد سبب للاعتقاد بأن الألة تنتج المخرجات بانحرافات صغيرة عن الأوزان المطلوبة زيادة مستوى الدلالة مستحسن احصائيا لنكتشف هذه الانحرافات ونصغر خطأ النوع الثاني.