أمثلة اضافية لمجالات الثقة لفرق متوسطين

تريد الشركة X تحليل أدائها على بورصتين باستعمال السعر المحدد والذي يلاحظ يوميا عند الساعة 12

الشركة مهتمة بشكل خاص باختلاف متوسط الأسعار المحددة, سنبني كلا تقدير النقطة ومجال الثقة عند الدرجة

المتغيرات العشوائية هي :

$X_{1}$السعر المحدد عند البورصة الأولى.

$X_{2}$ السعر المحدد عند البورصة الثانية.

المتوسطات $E(X_{1})=\mu _{1}$ و $E(X_{2})=\mu _{2}$ والتباينات $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ و $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$. مجهولة

نفرض لذلك :

• الأسعار مستقلة في كلا البورصتين.

• التباينات متساوية (تجانس التباين).

نسحب عينة عشوائية من كل مجتمع , أحجام العينات $n1=10$ و $n2=10$ حيث الشركة X تتداول في أسواق الأوراق المالية لفترة طويلة. كلا المجتمعين كبيرين, عندئذ نفرض السحب مع الاعادة, على أية حال نفرض الاستقلال لكلا العينتين .

لبناء مجالات الثقة للفرق $\mu _{1}-\mu _{2}$ نعتبر الحالتين التاليتين :

• $X_{1}$ و $X_{2}$ لها توزيع طبيعي.

• توزيعات $X_{1}$ و $X_{2}$ مجهولة .

الحالة 1 :

لدينا $X_{1}\sim N(\mu _{1};\sigma ^{2})$ و $X_{2}\sim N(\mu _{2};\sigma ^{2})$. المتغير العشوائي المعياري :

$T={\frac {D-E(D)}{S_{D}}}={\frac {({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

له توزيع-t مع درجة الحرية $f=n_{1}+n_{2}-2=18$ .

تحت هذه الفروض :

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D},\quad ({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\right]$

يكون مجال الثقة للفروقات بين متوسطي السعر المحدد $\mu _{1}-\mu _{2}$ عند درجة الثقة:

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\quad \leq \quad \mu _{1}-\mu _{2}\quad \leq \quad ({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\right)=1-\alpha =0.95$

لأجل , نجد $t_{f,1-\alpha /2}=t_{18;0.975}=2.101$

لأجل $n=10$ أيام مختارة عشوائيا نسجل الأسعار المحددة في كلا البورصتين العمود 2 و3 , تحتوي الأعمدة 4 و 5 بالأسفل على الانحرافات المربعة عن الأوساط المقدرة والتي استخدمت لحساب التباينات الفردية:

$i$	$x_{1i}$	$x_{2i}$	$(x_{1i}-{\bar {x}}_{1})^{2}$	$(x_{2i}-{\bar {x}}_{2})^{2}$
1	18,50	18,45	0,0841	0,1296
2	19,00	18,90	0,0441	0,0081
3	18,70	18,80	0,0081	0,0001
4	19,30	19,50	0,2601	0,4761
5	17,10	17,30	2,8561	2,2801
6	18,30	18,10	0,2401	0,5041
7	18,60	18,80	0,0361	0,0001
8	19,00	18,85	0,0441	0,0016
9	19,40	19,50	0,3721	0,4761
10	20,00	19,90	1,4641	1,1881

نحصل على :

${\bar {x}}_{1}=18,79{\mbox{ DM}}$

${\bar {x}}_{2}=18,81{\mbox{ DM}}$

$s_{1}^{2}=0,601$

$s_{2}^{2}=0,563$

حينئذ نفرض تجانس التباينات, يعطى التقدير $s^{2}$ لأجل التباين المشترك $\sigma ^{2}$ بواسطة الوسط الحسابي المثقل لتباينات العينة.

$s^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {9\cdot 0.601+9\cdot 0.563}{18}}=0.582$

تباين الانحراف لمتوسطات العينة هو :

$s_{D}^{2}=s^{2}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)=0,582\cdot {\frac {1}{5}}=0.1164$

والانحراف المعياري هو $s_{D}=0,3412$.

يعطى مجال الثقة للفرق بواسطة:

$\lbrack (18,79-18,81)-2,101\cdot 0,3412,\quad (18,79-18,81)+2,101\cdot 0,3412]=[-0,7369,\quad 0.6969]$

والذي هو صغير نسبيا لمستوى الأسعار المحددة الفردية.

يتضمن مجال الثقة القيمة 0 حينئذ لا يظهر أي اختلاف جوهري ما بين متوسطي الأسعار المحددة $\mu _{1}$ و $\mu _{2}$.

الحالة 2:

سنترك الأن فرض التوزيع الطبيعي الى $X_{1}$ و $X_{2}$ ,سنحتاج لأحجام العينات الكبيرة حتى يتسنى لنا الاعتماد على نظرية الحد المركزية كتقريب لتوزيعات ${\bar {x}}_{1}$ و ${\bar {x}}_{2}$ (واختلافهم ${\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}$ ).

سنسحب العينات من الحجم $n1,n2=50$ المتغير العشوائي المعياري:

$T={\frac {D-E(D)}{S_{D}}}={\frac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

يقرب للتوزيع الطبيعي تحت الفروض أعلاه:

$\left[({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D},\quad ({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\right]$

هو مجال ثقة تقريبي للاختلاف $\mu _{1}-\mu _{2}$ عند درجة الثقة 0.95

$P\left(({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\quad \leq \quad \mu _{1}-\mu _{2}\quad \leq \quad ({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}S_{D}\right)\approx 1-\alpha =0,95$

حيث $z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96$

باستعمال كلا العينتين من 50 مشاهدة نحصل كالتالي:

${\bar {X}}_{1}=18,80\ \qquad \qquad s_{1}^{2}=0,5967$

${\bar {X}}_{2}=18,83\ \qquad \qquad s_{2}^{2}=0,6188$

حينئذ نفرض تجانس التباين, نقدر $\sigma ^{2}$ باستعمال $s^{2}$

$s^{2}={\frac {49\cdot 0,5967+49\cdot 0,6188}{98}}=0,6078$

و

$s_{D}^{2}=s^{2}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)=0,6078\cdot {\frac {1}{25}}=0,0243$

يكون الانحراف المعياري $s_{D}=0.1559$.

يعطى مجال الثقة بواسطة:

$\lbrack (18,80-18,83)-1,96\cdot 0,1559;\quad (18,80-18,83)+1,96\cdot 0,1559]=[-0,3356,\quad 0,2756]$

التفسير التالي كما في الحالة 1 أعلاه :

نقارن بين المفهومين نخلص لما يلي:

• لدينا في الحالة1 معلومات أكثر عن المجتمع من الحالة 2.

• الفرق بين متوسطي العينتين والتباينات المشتركة تقرب لنفس الحجم في كلا الحالتين.

• التباين $s_{D}^{2}$ والانحراف المعياري $s_{D}$ للفرق أصغر بكثير في الحالة 2 بسبب حجم العينة الكبير.

• طول مجال الثقة في الحالة 2 أصغر بكثير من الحالة 1.

• مجال الثقة في الحالة 2 تقريبي بسبب غياب المعرفة الدقيقة للتوزيعات.