Zufallsauswahlmodelle: Unterschied zwischen den Versionen

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Neben den hier genannten Zufallsauswahlmodellen gibt es weitere, z.B. geschichtete Auswahl, Klumpenauswahl, mehrstufige Auswahl.
 
Neben den hier genannten Zufallsauswahlmodellen gibt es weitere, z.B. geschichtete Auswahl, Klumpenauswahl, mehrstufige Auswahl.
 
=={{Vorlage:Beispiele}}==
 
 
===Klausur===
 
 
An der Klausur zu einer Lehrveranstaltung im Hauptstudium nehmen <math>N=7</math> Studenten teil und erreichen die nachstehenden Punktzahlen.
 
 
Tabelle 1:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"| Student
 
|align="center"| A
 
|align="center"| B
 
|align="center"| C
 
|align="center"| D
 
|align="center"| E
 
|align="center"| F
 
|align="center"| G
 
|-
 
|align="center"| Punktzahl
 
|align="center"| 10
 
|align="center"| 11
 
|align="center"| 11
 
|align="center"| 12
 
|align="center"| 12
 
|align="center"| 12
 
|align="center"| 16
 
|}
 
 
Für das [[Merkmal]] <math>X\;</math> = "Punktzahl der Klausur" resultiert in der [[Grundgesamtheit]] folgende [[Häufigkeitsverteilung]].
 
 
Tabelle 2:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x)\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x) = \frac{h(x)}{N}</math>
 
|align="center"|<math>F(x)\;</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|align="center"|<math>1/7</math>
 
|align="center"|<math>1/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>2</math>
 
|align="center"|<math>2/7</math>
 
|align="center"|<math>3/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>3</math>
 
|align="center"|<math>3/7</math>
 
|align="center"|<math>6/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|align="center"|<math>1/7</math>
 
|align="center"|<math>7/7</math>
 
|}
 
 
Aus dieser [[Häufigkeitsverteilung|Verteilung]] lässt sich für das [[Merkmal]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] der [[Mittelwert der Grundgesamtheit|Mittelwert]], die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] berechnen:
 
 
<math>\mu =12,\;\quad\sigma^{2}=\frac{22}{7}=3,143,\;\quad\sigma=1,773</math>
 
 
Wird eine Klausur zufällig aus dieser [[Grundgesamtheit]] ausgewählt und die Punktzahl festgestellt, so erhält man eine [[Zufallsvariable]], die auch mit <math>X\;</math> bezeichnet wird, da sie inhaltlich gleich dem [[Merkmal]] definiert ist, und die [[Zufallsvariable]] ebenfalls nur die möglichen Werte 10, 11, 12 oder 16 annehmen kann.
 
 
Die [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] entsprechen den [[Wahrscheinlichkeit]]en, mit denen eine Klausur mit der entsprechenden Punktzahl gezogen wird.
 
 
Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> weist somit die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] <math>f(x)</math> und die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] <math>F(X)</math> wie in der Tabelle 2 angegeben sowie den [[Erwartungswert]] <math>\mu = 12</math> und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2} = 3,143</math> auf.
 
 
====Zufallsauswahl mit Zurücklegen====
 
 
Aus der [[Grundgesamtheit]] werden <math>n = 2</math> Klausuren [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|mit Zurücklegen]] entnommen.
 
 
Für die erste Ziehung erhält man eine [[Zufallsvariable]] <math> X_{1}=\;</math>"Punktzahl der ersten gezogenen Klausur" und für die zweite Ziehung entsprechend eine [[Zufallsvariable]] <math> X_{2}=\;</math>"Punktzahl der zweiten gezogenen Klausur".
 
 
<math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind die beiden [[Stichprobenvariable]]n.
 
 
Die Tabelle 3 zeigt alle möglichen [[Stichprobe]]n vom Umfang <math>n = 2</math> [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|mit Zurücklegen]] und unter Beachtung
 
der Reihenfolge.
 
 
Tabelle 3:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|1. Klausur
 
|align="center" colspan="7"|2. Klausur
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|10;10
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|16;10
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;16
 
|}
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]], eine dieser [[Stichprobe]]n zu erhalten, beträgt <math>\frac{1}{49}</math>.
 
 
Aus der Tabelle 3 lassen sich unmittelbar die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] für <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> ablesen.
 
 
Tabelle 4:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x_{1}\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x_{1})\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x_{1})\;</math>
 
|align="center"|<math>x_{2}\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x_{2})\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x_{2})\;</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>7</math>
 
|align="center"|<math>7/49 = 1/7</math>
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>7</math>
 
|align="center"|<math>7/49 = 1/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>14</math>
 
|align="center"|<math>14/49 = 2/7</math>
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>14</math>
 
|align="center"|<math>14/49 = 2/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>21</math>
 
|align="center"|<math>21/49 = 3/7</math>
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>21</math>
 
|align="center"|<math>21/49 = 3/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>7</math>
 
|align="center"|<math>7/49 = 1/7</math>
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>7</math>
 
|align="center"|<math>7/49 = 1/7</math>
 
|}
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]en von <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind identisch und stimmen mit der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der
 
[[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] überein.
 
 
Aus der Tabelle 3 kann ebenfalls die zweidimensionale [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>f(x_{1}, x_{2})</math> ermittelt werden.
 
 
Tabelle 5:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|<math>X_{1}\;</math>
 
|align="center" colspan="4"|<math>X_{2}\;</math>
 
|align="center" rowspan="2"|<math>f(x_{1})\;</math>
 
|-
 
|align="center" |10
 
|align="center" |11
 
|align="center" |12
 
|align="center" |16
 
|-
 
|align="center" |10
 
|align="center" |1 / 49
 
|align="center" |2 / 49
 
|align="center" |3 / 49
 
|align="center" |1 / 49
 
|align="center" |1 / 7
 
|-
 
|align="center" |11
 
|align="center" |2 / 49
 
|align="center" |4 / 49
 
|align="center" |6 / 49
 
|align="center" |2 / 49
 
|align="center" |2 / 7
 
|-
 
|align="center" |12
 
|align="center" |3 / 49
 
|align="center" |6 / 49
 
|align="center" |9 / 49
 
|align="center" |3 / 49
 
|align="center" |3 / 7
 
|-
 
|align="center" |16
 
|align="center" |1 / 49
 
|align="center" |2 / 49
 
|align="center" |3 / 49
 
|align="center" |1 / 49
 
|align="center" |1 / 7
 
|-
 
|align="center" |<math>f(x_{2})\;</math>
 
|align="center" |<math>1 / 7</math>
 
|align="center" |<math>2 / 7</math>
 
|align="center" |<math>3 / 7</math>
 
|align="center" |<math>1 / 7</math>
 
|align="center" |1
 
|}
 
 
Die letzte Spalte der Tabelle 5 enthält die [[Randverteilung (stochastisch)|Randverteilung]] von <math>X_{1}\;</math> und die letzte Zeile die [[Randverteilung (stochastisch)|Randverteilung]] von <math>X_{2}\;</math>, welche exakt der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] aus Tabelle 4 entsprechen.
 
 
Für jede Zelle der Tabelle 5, d.h. für alle Wertepaare <math>(x_{1},\; x_{2})</math>, folgt:
 
 
<math>f(x_{1},x_{2})=f(x_{1})\cdot f(x_{2})</math>
 
 
Die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind somit [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]].
 
 
Fazit:
 
 
Da die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] und identisch [[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] sind und die gleiche [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]] wie die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> in der [[Grundgesamtheit]] besitzen, wird durch die [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit Zurücklegen]] eine [[einfache Zufallsstichprobe]] [[Realisation|realisiert]].
 
 
====Zufallsauswahl ohne Zurücklegen====
 
 
Aus der [[Grundgesamtheit]] werden <math>n = 2</math> Klausuren [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] entnommen.
 
 
Man erhält wie vorher die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math>.
 
 
Die Tabelle 6 zeigt alle möglichen [[Stichprobe]]n vom Umfang <math>n = 2</math> [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] und unter Beachtung der Reihenfolge.
 
 
Tabelle 6:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|rowspan="2" align="center"|'''1. Klausur'''
 
|colspan="7" align="center"|'''2. Klausur'''
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|16;10
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|}
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]], eine dieser [[Stichprobe]]n zu erhalten, beträgt <math>\frac{1}{42}</math>.
 
 
Aus der Tabelle 6 ergeben sich die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]en für <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math>
 
 
Tabelle 7:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x_{1}\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x_{1})\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x_{1})\;</math>
 
|align="center"|<math>x_{2}\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x_{2})\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x_{2})\;</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>6</math>
 
|align="center"|<math>6/42 = 1/7</math>
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>6</math>
 
|align="center"|<math>6/42 = 1/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>12/42 = 2/7</math>
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>12/42 = 2/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>18</math>
 
|align="center"|<math>18/42=3/7</math>
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>18</math>
 
|align="center"|<math>18/42 = 3/7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>6</math>
 
|align="center"|<math>6/42 = 1/7</math>
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>6</math>
 
|align="center"|<math>6/42 = 1/7</math>
 
|}
 
 
Die Übereinstimmung der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] <math>f(x_{1})</math> mit der [[Verteilung der Grundgesamtheit]] ist nicht verwunderlich, da
 
<math>X_{1}\;</math> für die Ziehung der 1. Klausur steht.
 
 
Wenn [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] gezogen wird, ändert sich jedoch die [[Verteilung der Grundgesamtheit]] in Abhängigkeit davon, welcher Wert der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> (Punktzahl einer Klausur) bei der 1. Ziehung auftrat.
 
 
Wenn die erste gezogene Klausur z.B. die Punktzahl 10 hatte <math>(X_{1} = 10)\;</math>, dann ist die [[bedingte Wahrscheinlichkeit]], bei der zweiten gezogenen Klausur die Punktzahl 10 zu erhalten <math>P(X_{2}= 10|X_{1} = 10) = 0\;</math>, denn unter den verbliebenen 6 Klausuren in der [[Grundgesamtheit]] gibt es keine weitere Klausur mit der Punktzahl 10.
 
 
Die Tabelle 8 enthält alle [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].
 
 
Tabelle 8:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x_{2}</math>
 
|align="center"|<math>P(X_{2} = x_{2}|X_{1} = 10)\;</math>
 
|align="center"|<math>P(X_{2} = x_{2}|X_{1} = 11)\;</math>
 
|align="center"|<math>P(X_{2} = x_{2}|X_{1} = 12)\;</math>
 
|align="center"|<math>P(X_{2} = x_{2}|X_{1} = 16)\;</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>10</math>
 
|align="center"|<math>0</math>
 
|align="center"|<math>3/6</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>11</math>
 
|align="center"|<math>2/6</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|align="center"|<math>2/6</math>
 
|align="center"|<math>2/6</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>12</math>
 
|align="center"|<math>3/6</math>
 
|align="center"|<math>3/6</math>
 
|align="center"|<math>2/6</math>
 
|align="center"|<math>3/6</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>16</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|align="center"|<math>1/6</math>
 
|align="center"|<math>0</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>\sum</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|align="center"|<math>1</math>
 
|}
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass <math>X_{2}\;</math> einen bestimmten Wert <math>x_{2}</math> annimmt, d.h. <math>P(X_{2} = x_{2}) = f(x_{2})\;</math>, ergibt sich nach dem [[Satz der totalen Wahrscheinlichkeit]]:
 
 
{|
 
|<math>P(X_{2} = 10)\; </math>
 
|<math>= P(X_{2} = 10 | X_{1}=10) \cdot P(X_{1} = 10) + P(X_{2} = 10|X_{1}=11) \cdot P(X_{1} = 11) </math>
 
|-
 
|
 
|<math>+ P(X_{2} = 10|X_{1}=12) \cdot P(X_{1} = 12) +P(X_{2} = 10 | X_{1}=16) \cdot P(X_{1} = 16) </math>
 
|-
 
|
 
|<math>= 0 \cdot \frac{1}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} =  \frac{6}{42} =  \frac{1}{7}</math>
 
|}
 
 
 
{|
 
|<math>P(X_{2} = 11)\;</math>
 
|<math>= P(X_{2} = 11 | X_{1}=10) \cdot P(X_{1} = 10) + P(X_{2} = 11 |X_{1}=11) \cdot P(X_{1} = 11)</math>
 
|-
 
|
 
|<math>+ P(X_{2} = 1 | X_{1}=12) \cdot P(X_{1} = 12) +P(X_{2} = 11 | X_{1}=16) \cdot P(X_{1} = 16) </math>
 
|-
 
|
 
|<math>=  \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{7} +  \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{7} +  \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{7} =  \frac{12}{42} =  \frac{2}{7}</math>
 
|}
 
 
 
{|
 
|<math>P(X_{2} = 12)\;</math>
 
|<math>= P(X_{2} = 12 | X_{1}=10) \cdot P(X_{1} = 10) + P(X_{2} = 12 |X_{1}=11) \cdot P(X_{1} = 11)</math>
 
|-
 
|
 
|<math>+ P(X_{2} = 2 | X_{1}=12) \cdot P(X_{1} = 12) +P(X_{2} = 12 | X_{1}=16) \cdot P(X_{1} = 16) </math>
 
|-
 
|
 
|<math>=  \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{7} +  \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{7} +  \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{7} +  \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{7} =  \frac{18}{42} =  \frac{3}{7}</math>
 
|}
 
 
 
{|
 
|<math>P(X_{2} = 16)\;</math>
 
|<math>= P(X_{2} = 16 | X_{1}=10) \cdot P(X_{1} = 10) + P(X_{2} = 16 |X_{1}=11) \cdot P(X_{1} = 11)</math>
 
|-
 
|
 
|<math>+ P(X_{2} = 6 | X_{1}=12) \cdot P(X_{1} = 12) +P(X_{2} = 16 | X_{1}=16) \cdot P(X_{1} = 16)</math>
 
|-
 
|
 
|<math>=  \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{7} +  \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{7} + 0 \cdot \frac{1}{7} =  \frac{6}{42} =  \frac{1}{7}</math>
 
|}
 
 
 
Diese berechneten [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>f(x_{2})</math> entsprechen denen aus Tabelle 7..
 
 
Damit ist <math>f(x_{2})</math> identisch mit <math>f(x_{1})</math> und beide stimmen mit der [[Verteilung der Grundgesamtheit]] überein.
 
 
Die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind aber nicht [[Unabhängigkeit (empirisch)|unabhängig]] voneinander.
 
 
Dies lässt sich zum einen daran sehen, dass die [[bedingte Verteilung (stochastisch)|bedingten Verteilungen]] (in der Tabelle 8) nicht übereinstimmen.
 
 
Es lässt sich zum anderen anhand der zweidimensionalen [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]]  <math>f(x_{1},\; x_{2})</math> erkennen, die aus der Tabelle 6 ermittelt werden kann.
 
 
Tabelle 9:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|<math>X_{1}\;</math>
 
|align="center" colspan="4"|<math>X_{2}\;</math>
 
|align="center" rowspan="2"|<math>f(x_{1})\;</math>
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|0
 
|align="center"|<math>2 / 42</math>
 
|align="center"|<math>3 / 42</math>
 
|align="center"|<math>1 / 42</math>
 
|align="center"|<math>1 / 7</math>
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|<math>2 / 42</math>
 
|align="center"|<math>4 / 42</math>
 
|align="center"|<math>6 / 42</math>
 
|align="center"|<math>2 / 42</math>
 
|align="center"|<math>2 / 7</math>
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|<math>3 / 42</math>
 
|align="center"|<math>6 / 42</math>
 
|align="center"|<math>9 / 42</math>
 
|align="center"|<math>3 / 42</math>
 
|align="center"|<math>3 / 7</math>
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|<math>1 / 42</math>
 
|align="center"|<math>2 / 42</math>
 
|align="center"|<math>3 / 42</math>
 
|align="center"|<math>1 / 42</math>
 
|align="center"|<math>1 / 7</math>
 
|-
 
|align="center"|<math>f(x_{2})\;</math>
 
|align="center"|<math>1 / 7</math>
 
|align="center"|<math>2 / 7</math>
 
|align="center"|<math>3 / 7</math>
 
|align="center"|<math>1 / 7</math>
 
|align="center"|1
 
|}
 
 
Es ist: <math>f(x_{1},\;x_{2})\neq f(x_{1})\cdot f(x_{2})</math>.
 
 
Die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind somit nicht [[Unabhängigkeit (empirisch)|unabhängig]].
 
 
Fazit:
 
 
Die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> sind zwar identisch [[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] und haben die gleiche [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]] wie die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]], aber sie sind abhängig.
 
 
Durch die [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]] wird somit eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] jedoch keine
 
[[einfache Zufallsstichprobe]] realisiert.
 

Aktuelle Version vom 22. November 2018, 15:38 Uhr

Stichprobentheorie

Stichprobentheorie • Stichprobe • Verteilung der Grundgesamtheit • Stichprobenvariable • Stichprobenfunktion • Zufallsauswahlmodelle • Stichprobenmittelwert • Schwaches Gesetz der großen Zahlen • Verteilung des Stichprobenmittelwertes • Verteilung der Stichprobenvarianz • Verteilung des Stichprobenanteilswertes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
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Grundbegriffe

Zufallsauswahlmodelle

Man unterscheidet das Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen.

Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen

Bei einer Zufallsauswahl mit Zurücklegen hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Nach der Feststellung der Merkmalsausprägung wird das gezogene Element wieder in die Grundgesamtheit zurückgelegt, bevor das nächste Element gezogen wird.

Dadurch kann ein Element der Grundgesamtheit mehrfach in der Stichprobe enthalten sein.

Durch das Zurücklegen wird jedoch garantiert, dass

Die Stichprobenvariablen sind somit identisch verteilt.

Ein Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen führt damit zu einer einfachen Zufallsstichprobe.

Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen

Bei einer Zufallsauswahl ohne Zurücklegen hat jedes Element der Grundgesamtheit ebenfalls die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Nach der Feststellung der Merkmalsausprägung wird das gezogene Element jedoch nicht in die Grundgesamtheit zurückgelegt.

Das hat zur Konsequenz, dass sich die Verteilung der Grundgesamtheit von Ziehung zu Ziehung verändert, wodurch die Stichprobenvariablen abhängig voneinander sind.

Eine Zufallsauswahl ohne Zurücklegen führt zu einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe, aber nicht zu einer einfachen Zufallsstichprobe.

Diese Unterscheidung in "mit Zurücklegen" und "ohne Zurücklegen" ist jedoch nur für endliche Grundgesamtheiten relevant.

Selbst bei einer endlichen Grundgesamtheit kann man diese Unterscheidung immer mehr vernachlässigen, je umfangreicher die Grundgesamtheit und je kleiner zugleich der Auswahlsatz ist.

Bei großem Umfang der Grundgesamtheit und kleinem Stichprobenumfang verändert sich nach jeder Ziehung ohne Zurücklegen die Verteilung der Grundgesamtheit nur geringfügig.

Als Faustregel gilt, dass bei einem Auswahlsatz eine Zufallsauswahl ohne Zurücklegen näherungsweise als eine einfache Zufallsstichprobe angesehen werden kann.

Neben den hier genannten Zufallsauswahlmodellen gibt es weitere, z.B. geschichtete Auswahl, Klumpenauswahl, mehrstufige Auswahl.