Verteilung des Stichprobenanteilswertes: Unterschied zwischen den Versionen

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: Für eine bessere [[Approximation]] sollte die [[Stetigkeitskorrektur]] berücksichtigt werden.
 
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===Haushaltsgröße===
 
 
Laut Angaben des Statistischen Bundesamtes der Bundesrepublik Deutschland gab es im April 1996 in Deutschland 37,3 Millionen Privathaushalte, von denen rund 35% Einpersonenhaushalte waren.
 
 
====Stichprobe vom Umfang n=10====
 
 
Aus dieser [[Grundgesamtheit]] wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n=10</math> entnommen.
 
 
* Welcher [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] genügt die Anzahl bzw. der Anteil der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]]?
 
* Geben Sie [[Erwartungswert]], [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] für diese [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] an.
 
* Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass der Anteil der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]] größer als 0,2, jedoch kleiner gleich 0,5 ist?
 
 
Es liegt eine endliche [[Grundgesamtheit]] von <math>N = 37,3</math> Mio. Privathaushalten vor, von denen <math>M = 13,055</math> Mio. Einpersonenhaushalte sind.
 
 
Bei zehnmaliger Ziehung von [[Statistisches Element|Elementen]] aus der [[Grundgesamtheit]] erhält man 10 [[Zufallsvariable]]n ([[Stichprobenvariable]]n) <math>X_{i}\; (i = 1,..., 10)</math>, die den Wert <math>X_{i}=1</math> annehmen, wenn ein Einpersonenhaushalt auftritt, und den Wert <math>X_{i} = 0</math> annehmen, wenn ein Mehrpersonenhaushalt auftritt.
 
 
Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> als Summe der 10 [[Stichprobenvariable]]n beinhaltet die Anzahl der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]] und die [[Zufallsvariable]] <math>\widehat{\pi}=\frac{X}{n}</math> den Anteil der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]].
 
 
Da bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] die [[Statistisches Element|Elemente]] [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] entnommen werden, ist die [[Stichprobenfunktion]] <math>X\;</math> [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrisch verteilt]]:
 
 
<math>X \sim H(N;M;n)=H(37,3 \mbox{ Mio. };\;13,055\mbox{ Mio. };\;10)</math>.
 
 
Die [[Stichprobenfunktion]] <math>\widehat{\pi}</math> weist die gleiche [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] wie <math>X = n \cdot \widehat{\pi}</math> auf.
 
 
Da zum einen der [[Umfang der Grundgesamtheit]] sehr groß und zum anderen der [[Auswahlsatz]] <math>\frac{n}{N}=\frac{10}{37,3 \mbox{ Mio.}}<0,05</math> ist, kann die Endlichkeit der [[Grundgesamtheit]] vernachlässigt und [[Approximation|approximativ]] die [[Binomialverteilung]] mit <math>\pi = \frac{M}{N}=0,35</math> verwendet werden, so dass gilt: <math>X\approx B(n;\;\pi)=B(10;0,35)</math>.
 
 
Für <math>\widehat{\pi}</math> gilt die gleiche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].
 
 
[[Erwartungswert]], [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]]:
 
 
{|style="width:70%"
 
|<math>E[X]=10\cdot0,35=3,5</math>
 
|<math>Var(X)=10\cdot0,35\cdot0,65=2,275</math>
 
|<math>\,\sigma(X)=1,5083</math>
 
|-
 
|<math>E\left[\widehat{\pi}\right]=0,35</math>
 
|<math>Var(\widehat{\pi})=\frac{0,35\cdot0,65}{10}=0,02275</math>
 
|<math>\sigma(\widehat{\pi})=0,1508</math>
 
|}
 
 
Die gesuchte [[Wahrscheinlichkeit]] ist <math>P(0,2<\widehat{\pi}<0,5)</math>.
 
 
Wegen <math>X=n \cdot\widehat{\pi}</math> und somit <math>x_{1}=10\cdot0,2=2</math> und <math>x_{2}=10\cdot0,5=5</math>, entspricht dies der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(2<X<5)</math>.
 
 
<math>P(2<X<5)=P(X\leq4)-P(X\leq2)=F_{B}(4)-F_{B}(2)=0,7515-0,2616=0,4899</math>
 
 
<math>F_{B}(4)</math> und <math>F_{B}(2)</math> findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Binomialverteilung]] <math>B(10;0,35)</math>.
 
 
====Stichprobe vom Umfang n=2000====
 
 
Aus der angegebenen [[Grundgesamtheit]] wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 2000</math> entnommen.
 
 
* Welcher [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] genügt die Anzahl bzw. der Anteil der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]]?
 
* Geben Sie [[Erwartungswert]], [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] für diese [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] an.
 
* Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die Anzahl der Einpersonenhaushalte in der [[Stichprobe]] größer gleich 700, aber kleiner gleich 725 ist, d.h. <math>700\leq X \leq 725</math>?
 
 
Die [[Stichprobenfunktion]]en <math>X\;</math> und <math>\widehat{\pi}</math> sind wie bei der 1. Problemstellung definiert.
 
 
Da die [[Grundgesamtheit]] wie vorher sehr groß und der [[Auswahlsatz]] sehr klein ist, spielt es keine Rolle, ob die [[Statistisches Element|Elemente]] [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] oder [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|mit Zurücklegen]] entnommen werden, so dass [[Approximation|approximativ]] von einer [[Binomialverteilung]] ausgegangen werden kann.
 
 
[[Erwartungswert]], [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]]: sind:
 
 
{|style="width:70%"
 
|<math>E[X]=2000\cdot0,35=700</math>
 
|<math>Var(X)=2000\cdot0,35\cdot0,65=455</math>
 
|<math>\,\sigma(X)=21,33</math>
 
|-
 
|<math>E\left[\widehat{\pi}\right]=0,35</math>
 
|<math>Var(\widehat{\pi})=\frac{0,35\cdot0,65}{2000}=0,000114</math>
 
|<math>\sigma(\widehat{\pi})=0,01067</math>
 
|}
 
 
Für eine <math>B(2000;0,35)</math> liegen keine Tabellen zur Bestimmung von [[Wahrscheinlichkeit]]en vor. Per Computer wurde ermittelt:
 
 
<math>P(700\leq X\leq725)=P(X\leq725)-P(X<700)=F_{B}(725)-F_{B}(699)=0,8839-0,4916=0,3923</math>
 
 
Da der [[Stichprobenumfang]] <math>n=2000</math> jedoch sehr groß ist und die Kriterien <math>n\cdot \pi=2000\cdot0,35=700\geq5</math> und <math>n\cdot (1-\pi)=2000\cdot0,65=1300\geq 5</math> erfüllt sind, kann statt der [[Binomialverteilung]] [[Approximation|approximativ]] die [[Normalverteilung]] verwendet werden:
 
 
<math>X\approx N(700;21,33)\,,\qquad\widehat{\pi}\approx N(0,35;0,01067)</math>
 
 
Mit
 
 
<math>z_{1}=\frac{700-0,5-700}{21,33}=-0,02344</math>
 
 
<math>z_{2}=\frac{725+0,5-700}{21,33}=1,1955</math>
 
 
folgt
 
 
 
<math>P(700\leq X\leq725)\approx\Phi(1,1955)-\Phi(-0,02344)=\Phi(1,1955)-(1-\Phi(0,02344))</math>
 
 
<math>=0,884054-(1-0,509351)=0,3934</math>
 
 
Im Vergleich zur Berechnung der [[Wahrscheinlichkeit]] über die exakte [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] ergibt sich durch die [[Approximation]] über die [[Normalverteilung]] ein vernachlässigbarer Fehler.
 
  
 
===Urne===
 
===Urne===

Version vom 22. November 2018, 15:35 Uhr

Stichprobentheorie

Stichprobentheorie • Stichprobe • Verteilung der Grundgesamtheit • Stichprobenvariable • Stichprobenfunktion • Zufallsauswahlmodelle • Stichprobenmittelwert • Schwaches Gesetz der großen Zahlen • Verteilung des Stichprobenmittelwertes • Verteilung der Stichprobenvarianz • Verteilung des Stichprobenanteilswertes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Anteilswert der Grundgesamtheit • Auswahlsatz • Einfache Zufallsauswahl • Einfache Zufallsstichprobe • Erwartungswert der Grundgesamtheit • Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes • Induktiver Schluss • Mittelwert der Grundgesamtheit • Parameter der Grundgesamtheit • Parameter des Stichprobenmittelwertes • Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes • Standardfehler • Statistisches Element • Stichprobenanteilswert • Stichprobengröße • Stichprobenumfang • Stichprobenwerte • Stichprobenvarianz • Stichprobenverteilung • Uneingeschränkte Zufallsauswahl • Uneingeschränkte Zufallsstichprobe • Varianz der Grundgesamtheit • Varianz des Stichprobenmittelwertes • Varianzhomogenität • Varianzheterogenität • Verteilung einer Stichprobenfunktion • Zufallsauswahl • Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen • Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen • Zufallsstichprobe

Grundbegriffe

Stichprobenanteilswert

Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit, in der ein Anteil von Elementen eine Eigenschaft aufweist und ein Anteil diese Eigenschaft nicht besitzt.

Die zufällige Entnahme eines Elementes aus dieser Grundgesamtheit führt zu einer Zufallsvariablen, die den Wert Eins annimmt, wenn das gezogene Element die Eigenschaft aufweist, und den Wert Null annimmt, wenn das gezogene Element diese Eigenschaft nicht hat.

Bei -maliger Ziehung von Elementen erhält man Zufallsvariablen (Stichprobenvariablen), die alle nur die Werte Eins oder Null annehmen können.

Es bezeichne die Anzahl, also die absolute Häufigkeit der Elemente mit der Eigenschaft in einer Zufallsstichprobe vom Umfang :

Dann ist

der Stichprobenanteilswert, also die relative Häufigkeit der Elemente mit der Eigenschaft in einer Zufallsstichprobe vom Umfang .

Nach der Ziehung der Stichprobe liegt eine konkrete Anzahl von Elementen mit der Eigenschaft in der Stichprobe vor und der Stichprobenanteilswert hat sich zu einem Stichprobenwert realisiert.

Verteilung des Stichprobenanteilswertes

und variieren von Stichprobe zu Stichprobe (gleichen Umfangs).

Sie sind Stichprobenfunktionen, da sie als Funktionen von Stichprobenvariablen definiert sind, und damit Zufallsvariablen.

Für diese Stichprobenfunktionen sind ihre Verteilung mit Erwartungswert und die Varianz, d.h. die Stichprobenverteilungen, zu bestimmen.

Die Stichprobenverteilungen hängen entscheidend davon ab,

Einfache Zufallsstichprobe (Ziehen mit Zurücklegen)

Wird eine einfache Zufallsstichprobe aus der oben beschriebenen Grundgesamtheit gezogen, dann entspricht das einem Bernoulli-Experiment.

Alle Stichprobenvariablen haben die Verteilung

mit Erwartungswert und .

Unter diesen Bedingungen weist die Stichprobenfunktion eine Binomialverteilung mit den Parametern und auf, :

für die gilt:

Da die Beziehung besteht und darin eine Konstante ist, gilt für den Stichprobenanteilswert die gleiche Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Für den Erwartungswert und die Varianz von folgt:

Uneingeschränkte Zufallsstichprobe (Ziehen ohne Zurücklegen)

Das Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen ist nur für eine endliche Grundgesamtheit von Bedeutung.

Es sei der Umfang der Grundgesamtheit, die Anzahl der Elemente mit der Eigenschaft und der Stichprobenumfang.

Dann ist der Anteil der Elemente mit der Eigenschaft in der Grundgesamtheit. Die Stichprobenfunktionen und sind wie zuvor definiert.

Bei der Stichprobenentnahme ohne Zurücklegen folgt einer hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern , und ; :

Erwartungswert und Varianz der hypergeometrisch verteilten Stichprobenfunktion sind:

Die Stichprobenfunktion weist die gleiche Wahrscheinlichkeitsfunktion wie auf.

Für den Erwartungswert und die Varianz von folgt:

Zusatzinformationen

Approximation der Verteilung des Stichprobenmittelwertes

Einfache Zufallsstichprobe

Entsprechend dem zentralen Grenzwertsatzes kann für einen genügend großen Stichprobenumfang die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden:

bzw.

.

Der Stichprobenumfang wird als genügend groß angesehen, wenn und sind.

Für eine bessere Approximation sollte die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt werden, d.h. für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit über die Normalverteilung sollte

und für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

verwendet werden.

Uneingeschränkte Zufallsstichprobe

relativ gut approximiert werden.
Als Faustregel gilt: .
bzw.
Der Stichprobenumfang wird als genügend groß angesehen, wenn , und sind.
Für eine bessere Approximation sollte die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt werden.

Urne

Aus einer Urne mit Kugeln, unter denen ein Anteil roter Kugeln ist, werden Stichproben im Umfang ohne Zurücklegen gezogen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, in den Stichproben Anteilswerte roter Kugeln zwischen und zu finden.

Grundgesamtheit vom Umfang N=5

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang und wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang entnommen.

Die Zufallsvariable als Summe der 3 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

  • Welcher Verteilung genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe Anteilswerte zwischen und zu finden ?

Da die Grundgesamtheit endlich ist und bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe die Elemente ohne Zurücklegen entnommen werden, ist die Stichprobenfunktion hypergeometrisch verteilt:

, wobei ist.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist .

Wegen und somit und entspricht dies der Wahrscheinlichkeit .

.

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</R>

Grundgesamtheit vom Umfang N=1000

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang und wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang entnommen.

Die Zufallsvariable als Summe der 4 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

Da eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe gezogen wird und die Grundgesamtheit endlich ist, ist die Zufallsvariable hypergeometrisch verteilt: .

Da aber zum einen der Umfang der Grundgesamtheit sehr groß und zum anderen der Auswahlsatz ist, kann die Endlichkeit der Grundgesamtheit vernachlässigt und approximativ die Binomialverteilung mit verwendet werden, so dass gilt:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist .

Wegen und somit und entspricht dies der Wahrscheinlichkeit .

und findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung .

<R output="display">

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x=c(0:4) H1 <- dbinom(x, size=4, prob=0.2) layout(1:2) plot(H1, col="white", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n", xpd=TRUE, xlim= c(0, 4), ylim=c(0.0, 0.41)) axis(side=1, at=c(0,1,2,3,4)) axis(side=2, at=c(0,0.1,0.2,0.3, 0.4), las=1) lines(c(0:4), H1, type="h", lwd=2, col="BLUE") plot(H1, col="white", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n", xpd=TRUE, xlim= c(0, 5), ylim=c(0.4, 1)) axis(side=1, at=c(0,1,2, 3, 4, 5)) axis(side=2, at=c(0.4,0.6,0.8,1), las=1) lines(c(0, 1), c(0.4096, 0.4096), type="l", lwd=2, col="RED") lines(c(1, 2), c(0.8192, 0.8192), type="l", lwd=2, col="RED") lines(c(2, 3), c(0.95, 0.95), type="l", lwd=2, col="RED") lines(c(3, 4), c(0.97, 0.97), type="l", lwd=2, col="RED") lines(c(4, 5), c(1.0, 1.0), type="l", lwd=2, col="RED")


</R>

Grundgesamtheit vom Umfang N=2500

Aus einer Grundgesamtheit mit dem Umfang und wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang entnommen.

Die Zufallsvariable als Summe der 100 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe und die Zufallsvariable den Anteil der roten Kugeln in der Stichprobe.

Da die Grundgesamtheit endlich ist und eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe gezogen wird, ist die Zufallsvariable hypergeometrisch verteilt: .

Da der Stichprobenumfang groß ist und die Kriterien

und

erfüllt sind, kann approximativ die Normalverteilung verwendet werden.

Es sind:

.

Somit wird die hypergeometrische Verteilung durch die approximiert.

Dabei wird zur Vereinfachung auf die Stetigkeitskorrektur verzichtet.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist :

Wegen und gilt:

.

und findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

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