Stichprobenmittelwert: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Stichprobentheorie}}
 
{{Stichprobentheorie}}
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=={{Vorlage:Überschrift}}==
 
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Allerdings erhält man dann nur einen Näherungswert für <math>Var(\bar{X})</math>.
 
Allerdings erhält man dann nur einen Näherungswert für <math>Var(\bar{X})</math>.
 
=={{Vorlage:Beispiele}}==
 
 
===Klausur===
 
 
An der Klausur zu einer Lehrveranstaltung im Hauptstudium nehmen <math>N= 7</math> Studenten teil und erreichen die nachstehenden Punktzahlen.
 
 
Tabelle 1:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|Student
 
|align="center"|A
 
|align="center"|B
 
|align="center"|C
 
|align="center"|D
 
|align="center"|E
 
|align="center"|F
 
|align="center"|G
 
|-
 
|align="center"|Punktzahl
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|}
 
 
Für das [[Merkmal]] <math>X =\;</math> "Punktzahl der Klausur" resultiert in der [[Grundgesamtheit]] folgende [[Häufigkeitsverteilung]].
 
 
Tabelle 2:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x\;</math>
 
|align="center"|<math>h(x)\;</math>
 
|align="center"|<math>f(x)=\frac{h(x)}{N}</math>
 
|align="center"|<math>F(x)\;</math>
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|1
 
|align="center"|1/7
 
|align="center"|1/7
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|2
 
|align="center"|2/7
 
|align="center"|3/7
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|3
 
|align="center"|3/7
 
|align="center"|6/7
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|1
 
|align="center"|1/7
 
|align="center"|7/7
 
|}
 
 
mit <math>\mu=12,\;\sigma^{2}=3,143</math> und <math>\sigma=1,773</math>.
 
 
====Zufallsauswahl mit Zurücklegen====
 
 
Aus der [[Grundgesamtheit]] werden <math>n = 2</math> Klausuren [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|mit Zurücklegen]] entnommen.
 
 
Die Tabelle 3 enthält alle möglichen [[Stichprobe]]n vom Umfang <math>n = 2</math> [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|mit Zurücklegen]] und unter Beachtung der Reihenfolge.
 
 
Tabelle 3:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|1. Klausur
 
|align="center" colspan="7"|2. Klausur
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|10;10
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|16;10
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;16
 
|}
 
 
Für jede [[Stichprobe]] wird das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 4 aufgelistet.
 
 
Tabelle 4:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|1. Klausur
 
|align="center" colspan="7"|2. Klausur
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|10
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|13
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|13,5
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|13,5
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|13
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|14
 
|align="center"|14
 
|align="center"|14
 
|align="center"|16
 
|}
 
 
<math>\bar{X}</math> kann somit verschiedene Werte mit bestimmten [[Wahrscheinlichkeit]]en annehmen.
 
 
Aus Tabelle 4 lässt sich die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>\bar{X}</math> bestimmen (Spalte 1 und 2 der Tabelle 5).
 
 
Tabelle 5:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>\bar{X}</math>
 
|align="center"|<math>P(\bar{X})</math>
 
|align="center"|<math>\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]</math>
 
|align="center"|<math>\left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}</math>
 
|align="center"|<math>\left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}\cdot P(\bar{x})</math>
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|1/49
 
|align="center"|-2
 
|align="center"|4
 
|align="center"|4/49
 
|-
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|4/49
 
|align="center"|-1,5
 
|align="center"|2,25
 
|align="center"|9/49
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|10/49
 
|align="center"|-1
 
|align="center"|1
 
|align="center"|10/49
 
|-
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12/49
 
|align="center"|-0,5
 
|align="center"|0,25
 
|align="center"|3/49
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|9/49
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0
 
|-
 
|align="center"|13
 
|align="center"|2/49
 
|align="center"|1
 
|align="center"|1
 
|align="center"|2/49
 
|-
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|4/49
 
|align="center"|1,5
 
|align="center"|2,25
 
|align="center"|9/49
 
|-
 
|align="center"|14
 
|align="center"|6/49
 
|align="center"|2
 
|align="center"|4
 
|align="center"|24/49
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|1/49
 
|align="center"|4
 
|align="center"|16
 
|align="center"|16/49
 
|}
 
 
Berechnet man für diese [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]], d.h. den [[Erwartungswert]] von <math>\bar{X}</math> , so ergibt sich:
 
 
<math>E\left[\bar{X}\right]=\frac{588}{49}=12</math>.
 
 
Dies entspricht dem [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]]: <math>E\left[X\right]=12\;</math>.
 
 
Für die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\bar{X}</math> folgt entsprechend den Zwischenergebnissen in den Spalten 3 - 5
 
der Tabelle 5:
 
 
<math>Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{77}{49}=\frac{11}{7}=1,5714</math>
 
 
Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von <math>\sigma^{2}(\bar{X})</math>
 
 
<math>\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{\frac{22}{7}}{2}=\frac{11}{7}</math>
 
 
Es ist deutlich erkennbar, dass die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\bar{X}</math> kleiner ist als die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] von <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]].
 
 
====Zufallsauswahl ohne Zurücklegen====
 
 
Aus der [[Grundgesamtheit]] werden <math>n = 2</math> Klausuren [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] entnommen.
 
 
Die Tabelle 6 zeigt alle möglichen [[Stichprobe]]n vom Umfang <math>n = 2</math> [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] und unter Beachtung der Reihenfolge.
 
 
Tabelle 6:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|1. Klausur
 
|align="center" colspan="7"|2. Klausur
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;11
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;12
 
|align="center"|10;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11;10
 
|align="center"|11;11
 
|align="center"|
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;12
 
|align="center"|11;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12;10
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;11
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|12;12
 
|align="center"|
 
|align="center"|12;16
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|16;10
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;11
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|16;12
 
|align="center"|
 
|}
 
 
Für jede [[Stichprobe]] wird das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 7 aufgelistet.
 
 
Tabelle 7:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" rowspan="2"|1. Klausur
 
|align="center" colspan="7"|2. Klausur
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|16
 
|-
 
|align="center"|10
 
|align="center"|
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11
 
|align="center"|13
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|13,5
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|11
 
|align="center"|
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|13,5
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12
 
|align="center"|
 
|align="center"|12
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|11
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12
 
|align="center"|12
 
|align="center"|
 
|align="center"|14
 
|-
 
|align="center"|16
 
|align="center"|13
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|14
 
|align="center"|14
 
|align="center"|14
 
|align="center"|
 
|}
 
 
Tabelle 8 enthält in den Spalten 1 und 2 die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] des Stichprobenmittelwertes <math>\bar{X}</math>
 
 
Tabelle 8:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>\bar{X}</math>
 
|align="center"|<math>P(\bar{X})</math>
 
|align="center"|<math>\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]</math>
 
|align="center"|<math>\left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}</math>
 
|align="center"|<math>\left(\bar{X} - E\left[\bar{X}\right]\right)^{2}\cdot P(\bar{x})</math>
 
|-
 
|align="center"|10,5
 
|align="center"|4/42
 
|align="center"|-1,5
 
|align="center"|2,25
 
|align="center"|9/42
 
|-
 
|align="center"|11
 
|align="center"|8/42
 
|align="center"|-1
 
|align="center"|1
 
|align="center"|8/42
 
|-
 
|align="center"|11,5
 
|align="center"|12/42
 
|align="center"|- 0,5
 
|align="center"|0,25
 
|align="center"|3/42
 
|-
 
|align="center"|12
 
|align="center"|6/42
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0
 
|-
 
|align="center"|13
 
|align="center"|2/42
 
|align="center"|1
 
|align="center"|1
 
|align="center"|2/42
 
|-
 
|align="center"|13,5
 
|align="center"|4/42
 
|align="center"|1,5
 
|align="center"|2,25
 
|align="center"|9/42
 
|-
 
|align="center"|14
 
|align="center"|6/42
 
|align="center"|2
 
|align="center"|4
 
|align="center"|24/42
 
|}
 
 
Der [[Erwartungswert]] <math>E\left[\bar{X}\right]</math> dieser Verteilung ergibt sich zu
 
 
<math>E(\bar{X})=\frac{504}{42}=12</math>
 
 
und entspricht somit dem [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] von <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]].
 
 
Für die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>Var(\bar{X})</math> folgt:
 
 
<math>Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{55}{42}=1,3095</math>.
 
 
Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von <math>\sigma^{2}(\bar{X})</math>:
 
 
{|
 
|<math>Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})</math>
 
|<math>=\cfrac{\sigma^{2}}{n}\cdot\cfrac{N-n}{N-1}</math>
 
|-
 
|
 
|<math>=\cfrac{\frac{22}{7}}{2}\cdot\cfrac{7-2}{7-1}=\cfrac{22\cdot5}{7\cdot2\cdot6}=\cfrac{55}{42}</math>
 
|}
 

Aktuelle Version vom 22. November 2018, 15:43 Uhr

Stichprobentheorie

Stichprobentheorie • Stichprobe • Verteilung der Grundgesamtheit • Stichprobenvariable • Stichprobenfunktion • Zufallsauswahlmodelle • Stichprobenmittelwert • Schwaches Gesetz der großen Zahlen • Verteilung des Stichprobenmittelwertes • Verteilung der Stichprobenvarianz • Verteilung des Stichprobenanteilswertes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Anteilswert der Grundgesamtheit • Auswahlsatz • Einfache Zufallsauswahl • Einfache Zufallsstichprobe • Erwartungswert der Grundgesamtheit • Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes • Induktiver Schluss • Mittelwert der Grundgesamtheit • Parameter der Grundgesamtheit • Parameter des Stichprobenmittelwertes • Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes • Standardfehler • Statistisches Element • Stichprobenanteilswert • Stichprobengröße • Stichprobenumfang • Stichprobenwerte • Stichprobenvarianz • Stichprobenverteilung • Uneingeschränkte Zufallsauswahl • Uneingeschränkte Zufallsstichprobe • Varianz der Grundgesamtheit • Varianz des Stichprobenmittelwertes • Varianzhomogenität • Varianzheterogenität • Verteilung einer Stichprobenfunktion • Zufallsauswahl • Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen • Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen • Zufallsstichprobe

Grundbegriffe

Stichprobenmittelwert

Eine der wichtigsten Stichprobenfunktionen ist der Stichprobenmittelwert .

Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist eine Funktion der Stichprobenvariablen :

Vor der Ziehung der Stichprobe sind die Stichprobenvariablen Zufallsvariablen, so dass der Stichprobenmittelwert ebenfalls eine Zufallsvariable ist.

Nach der Ziehung der Stichprobe liegen die konkreten Stichprobenwerte vor und der Stichprobenmittelwert realisiert sich zu dem Wert

Parameter des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit , der Erwartungswert der Grundgesamtheit und die Varianz der Grundgesamtheit vorausgesetzt.

Im folgenden werden nun die drei wichtigsten Parameter des Stichprobenmittelwertes beschrieben, der Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes, die Varianz des Stichprobenmittelwertes und die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes.

Diese Ergebnisse gelten unabhängig von der konkreten Form der Verteilung des Stichprobenmittelwertes.

Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes

Für den Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes ergibt sich bei einer einfachen Zufallsstichprobe und bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe

Varianz des Stichprobenmittelwertes

Für die Varianz des Stichprobenmittelwertes ergibt sich:

Wenn die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist, muss sie unter Verwendung der Stichprobenfunktion aus der Stichprobe geschätzt werden.

In den obigen Formeln muss die wahre Varianz durch die Stichprobenfunktion ersetzt werden, wodurch man für die Varianz des Stichprobenmittelwertes nur eine Schätzung erhält:

Hierbei bezeichne der Faktor die Endlichkeitskorrektur.

Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes oder Standardfehler

Für die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes ergibt sich:

wobei die Endlichkeitskorrektur bezeichne.

Die Standardabweichung einer Stichprobenfunktion wird oft auch als Standardfehler bezeichnet.

Zusatzinformationen

Herleitung des Erwartungswertes des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit , der Erwartungswert der Grundgesamtheit und die Varianz der Grundgesamtheit vorausgesetzt.

Die Stichprobenvariablen besitzen alle die gleiche Verteilung , den Erwartungswert und die Varianz .

Unter Verwendung der für Linearkombinationen von Zufallsvariablen gültigen Regeln ergibt sich:

wobei berücksichtigt wurde.

Dieses Ergebnis resultiert sowohl für eine einfache Zufallsstichprobe als auch für eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.

Darüber hinaus ist ersichtlich, dass für Stichproben jeden Stichprobenumfanges gilt.

Herleitung der Varianz des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit , der Erwartungswert der Grundgesamtheit und die Varianz der Grundgesamtheit vorausgesetzt.

Die Stichprobenvariablen besitzen alle die gleiche Verteilung , den Erwartungswert und die Varianz .

Einfache Zufallsstichprobe

Für eine einfache Zufallsstichprobe ergibt sich:

Da für alle ist und bei einer einfachen Zufallsstichprobe wegen der Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen gilt, resultiert

Aus diesem Ergebnis wird deutlich, dass die Varianz des Stichprobenmittelwertes kleiner ist als die Varianz der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit und immer kleiner wird, je größer der Stichprobenumfang wird.

Für großes konzentriert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von relativ eng um den Erwartungswert .

Uneingeschränkte Zufallsstichprobe

Die Herleitung der im Falle einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe ist in ähnlicher Weise wie bei der einfachen Zufallsstichprobe zu führen, ist aber wegen der Abhängigkeit der Stichprobenvariablen aufwendiger.

Bezüglich der Endlichkeitskorrektur kann für große Grundgesamtheiten näherungsweise

gesetzt werden, womit sich eine approximative Endlichkeitskorrektur von ergibt. Darin ist der Auswahlsatz der Stichprobe.

kann bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe nicht größer als werden.

Für einen festen Stichprobenumfang strebt die Endlichkeitskorrektur mit wachsendem gegen 1:

In praktischen Anwendungsfällen kann deshalb die Endlichkeitskorrektur vernachlässigt werden, wenn bezüglich genügend klein ist. Faustregel: bei einem Auswahlsatz von .

Allerdings erhält man dann nur einen Näherungswert für .