Stetige Gleichverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 15. August 2018, 08:40 Uhr

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall


Grundbegriffe

Stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsvariable , die nur Werte im Intervall annehmen kann, heißt gleichverteilt, wenn ihre Dichte die folgende Form hat:

Für die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung gilt:

Für den Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Gleichverteilung gilt

Die stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern und ab.

Zusatzinformationen

Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung

Es ist zu prüfen, ob die Funktion

eine Dichtefunktion ist:

Da ist, folgt für alle , d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder oberhalb der Abszisse.

Weiterhin gilt

.

Mit obiger Funktion ist somit eine Dichtefunktion gegeben.

Man erhält den Wert der Verteilungsfunktion wie folgt:

Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:

Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.

Beispiele

Straßenbahn

Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt.

Die Zufallsvariable : "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt.

Damit folgt

mit und .

Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die stetige Zufallsvariable als gleichverteilt angesehen werden.

Damit ist die Dichtefunktion von :

Die Verteilungsfunktion lautet:

Der Erwartungswert von ist

Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.

Die Varianz ist

Die Standardabweichung ist somit .

Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion sehen wie folgt aus: