Schwankungsintervall: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MM*Stat

Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „{{Verteilungsmodelle}} =={{Vorlage:Überschrift}}== ===Schwankungsintervall, Sicherheits- und Überschreitungswahrscheinlichkeit=== Ein ''Schwankungsinterva…“)
 
 
Zeile 44: Zeile 44:
 
gegeben.
 
gegeben.
  
{|
+
<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Schwankungsintervall_Schwankungsintervall_N_R00480004800000000000000_plot.html" />
|<R output="display">
 
pdf(rpdf,width=7,height=7)
 
 
 
curve(from=-4, to=4, dnorm(x, mean=0, sd=1), xaxt="n", ylab="f(z)", xlab="z", main="Zentrales Schwankungsintervall einer normalverteilten Zufallsvariablen", col="red", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
 
abline(v=-2, col="orange", lwd=2)
 
abline(v=2, col="orange", lwd=2)
 
#abline(h=0.0)
 
text(0, 0.15, expression(paste("1-" , alpha)), col = "black", cex=2.5)
 
text(-2.3, 0.01, expression(paste(alpha, "/2")), col = "black", cex=1.2)
 
text(2.3, 0.01, expression(paste(alpha, "/2")), col = "black", cex=1.2)
 
axis( side=1, at=c(-2, 2, 4), labels=c(expression(paste(mu, "-z", sigma)), expression(paste(mu, "+z", sigma)), "z"), tick=FALSE)
 
 
 
</R>
 
|}
 
  
 
Wegen
 
Wegen
Zeile 117: Zeile 103:
 
Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 99% liegt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> im Intervall <math>\left[74,2;125,8\right]</math>.
 
Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 99% liegt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> im Intervall <math>\left[74,2;125,8\right]</math>.
  
{|
+
<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Schwankungsintervall_Schwankungsintervall_N_100_10_R00480004800000000000000_plot.html" />
|<R output="display">
 
pdf(rpdf,width=7,height=7)
 
 
 
curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
 
axis( side=1, at=c(60, 74.2, 125.8), labels=c("60", "74,2", "125,8"), tick=FALSE)
 
 
 
par(new=TRUE)
 
 
 
xx <-c(74.5:125.5, 125.5:74.5)
 
yy <-c(c(dnorm(c(74.5:125.5), mean=100, sd=10)),c(rep(0,52)))
 
 
 
polygon(xx, yy, col="grey", border=NA)
 
 
 
par(new=TRUE)
 
 
 
curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
 
 
 
 
 
abline(v=74.2, col="black", lwd=2)
 
abline(v=125.8, col="black", lwd=2)
 
 
 
</R>
 
|}
 

Aktuelle Version vom 30. Mai 2018, 17:26 Uhr

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Schwankungsintervall, Sicherheits- und Überschreitungswahrscheinlichkeit

Ein Schwankungsintervall für die Zufallsvariable ist ein Bereich mit festen Grenzen und , in dem die Zufallsvariable Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit annimmt, d.h. aller Realisationen von liegen in diesem Intervall und aller Realisationen von außerhalb des Intervalls.

wird als Überschreitungswahrscheinlichkeit bezeichnet.

Zentrales Schwankungsintervall

Konstruiert man das Intervall um den bekannten Erwartungswert der Zufallsvariablen derart, dass den beiden Bereichen außerhalb der Grenzen des Intervalls jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist, dann heißt

ein zentrales Schwankungsintervall mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

.

Um die Bedeutung der Standardabweichung als Streuungsparameter hervorzuheben, misst man die Abweichung von oftmals in Vielfachen von , so dass das zentrale Schwankungsintervall die Form

hat.

Ist die Zufallsvariable -verteilt, so folgt für

und .

Der Wert kann für die Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Somit ist das zentrale Schwankungsintervall für eine normalverteilte Zufallsvariable mit

und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit

gegeben.

Wegen

,

folgt

.

Für vorgegebenes lässt sich die Sicherheitswahrscheinlichkeit für das zentrale Schwankungsintervall ermitteln, z.B.

Umgekehrt findet man für eine vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit den zugehörigen -Wert, z.B. für den Wert .

Beispiele

Schwankungsintervall

Gegeben sei eine Zufallsvariable , die -verteilt ist.

Gesucht ist ein symmetrischer Bereich um den Mittelwert, so dass 99% der Realisationen von in diesem Bereich liegen.

Für die Wahrscheinlichkeit von 0,995 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert .

Damit sind

und somit .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt die Zufallsvariable im Intervall .