Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch): Unterschied zwischen den Versionen

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{{Zufallsvariable}}
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|align="center"|<math>\,\frac{1}{4}\cdot Var(X) + \frac{1}{4}\cdot Var(Y) + \frac{1}{2}\cdot Cov(X,Y)</math>
 
|align="center"|<math>\,\frac{1}{4}\cdot Var(X) + \frac{1}{4}\cdot Var(Y) + \frac{1}{2}\cdot Cov(X,Y)</math>
 
|}
 
|}
 
=={{Vorlage:Beispiele}}==
 
 
===Autounfälle===
 
 
Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> bezeichne die Anzahl der Autounfälle pro Woche an einer Straßenkreuzung einer Stadt.
 
 
Aufgrund langjähriger Registrierung sind die folgenden [[Wahrscheinlichkeit]]en für die einzelnen [[Ausprägung]]en von <math>X\;</math> bekannt:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>\,x_{i}</math>
 
|align="center"|0
 
|align="center"|1
 
|align="center"|2
 
|align="center"|3
 
|align="center"|4
 
|align="center"|5
 
|-
 
|align="center"|<math>\,f(x_{i})</math>
 
|align="center"|0,08
 
|align="center"|0,18
 
|align="center"|0,32
 
|align="center"|0,22
 
|align="center"|0,14
 
|align="center"|0,06
 
|}
 
 
Der [[Erwartungswert]] von <math>X</math>, d.h. die im Mittel erwartete Anzahl von Autounfällen über sehr viele Wochen, ergibt sich mittels folgender Berechnungen:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>\,x_{i}</math>
 
|align="center"|0
 
|align="center"|1
 
|align="center"|2
 
|align="center"|3
 
|align="center"|4
 
|align="center"|5
 
|-
 
|align="center"|<math>\,f(x_{i})</math>
 
|align="center"|0,08
 
|align="center"|0,18
 
|align="center"|0,32
 
|align="center"|0,22
 
|align="center"|0,14
 
|align="center"|0,06
 
|-
 
|align="center"|<math>\,x_{i} \cdot f(x_{i})</math>
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0,18
 
|align="center"|0,64
 
|align="center"|0,66
 
|align="center"|0,56
 
|align="center"|0,30
 
|}
 
 
Damit ist:
 
 
<math>E[X]=\mu =\sum x_{i}f(x_{i})=2,34</math>
 
 
Natürlich kann eine solche Anzahl von Autounfällen nicht tatsächlich auftreten.
 
 
<math>E[X] = 2,34</math> gibt jedoch an, wo die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] von <math>X</math> ihr Zentrum hat.
 
 
Für die Ermittlung der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>X</math> sind weitere Berechnung notwendig:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|<math>x_{i}^{2}</math>
 
|align="center"|0
 
|align="center"|1
 
|align="center"|4
 
|align="center"|9
 
|align="center"|16
 
|align="center"|25
 
|-
 
|align="center"|<math> x_{i}^{2}f(x_{i}) </math>
 
|align="center"|0
 
|align="center"|0,18
 
|align="center"|1,28
 
|align="center"|1,98
 
|align="center"|2,24
 
|align="center"|1,50
 
|}
 
 
<math>Var(X)=\sigma ^{2}=\sum x_{i}^{2}f(x_{i})-\mu^{2}=7,18-2,34^{2}=1,7044\ \Rightarrow \sigma =1,306</math>
 
 
Es ist somit zu erwarten, dass an der betrachteten Straßenkreuzung im Mittel pro Woche 2,34 Autounfälle mit einer [[Streuung]] von 1,306 auftreten.
 
 
===Stetige Zufallsvariable===
 
 
<math>X</math> sei eine [[stetige Zufallsvariable]] mit der [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]]
 
 
<math>f(x)=\begin{cases}
 
0,25x-0,5 & \mbox{, wenn } 2<x\leq 4 \\
 
-0,25x+1,5  & \mbox{, wenn } 4<x\leq 6 \\
 
0 & \mbox{, sonst}\end{cases}</math>.
 
 
Für den [[Erwartungswert]] von <math>X</math> ergibt sich:
 
 
{|
 
|<math> E[X] = \mu </math>
 
|<math>\, = </math>
 
|<math>\int_{- \infty}^{\infty} x\cdot f(x)\, dx</math>
 
|-
 
|
 
|<math>\, = </math>
 
|<math> \int_2^4 x\cdot (0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x\cdot (-0,25 x +1,5)\, dx</math>
 
|-
 
|
 
|<math>\, = </math>
 
|<math> \int_2^4 (0,25 x^2 - 0,5 x)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^2 + 1,5 x)\, dx</math>
 
|-
 
|
 
|<math> \,= </math>
 
|<math> \left[ 0,25 \frac{1}{3} x^3 - 0,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_2^4 + \left[-0,25 \frac{1}{3} x^3 + 1,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_4^6</math>
 
|-
 
|
 
|<math>\, = </math>
 
|<math>\, 4 </math>
 
|}
 
 
Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] berechnet sich als:
 
 
{|
 
|<math> Var(X) = \sigma^2</math>
 
|<math> = \int_{- \infty}^{\infty} x^2\cdot f(x)\, dx - (E[X])^2</math>
 
|-
 
|
 
|<math> = \int_2^4 x^2\cdot (0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x^2\cdot (-0,25 x +1,5)\, dx - 4^2</math>
 
|-
 
|
 
|<math> = \int_2^4 (0,25 x^3 - 0,5 x^2)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^3 + 1,5 x^2)\,dx - 4^2 </math>
 
|-
 
|
 
|<math> = \left[0,25 \frac{1}{4} x^4 - 0,5 \frac{1}{3} x^3\right]_2^4 + \left[-0,25 \frac{1}{4} x^4 + 1,5 \frac{1}{3} x^3\right]_4^6 - 16</math>
 
|-
 
|
 
|<math>\, = 0,6667.</math>
 
|}
 
 
Die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> ist demzufolge 0,8165.
 
 
Für die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> mit der oben gegebenen [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] ist somit im Mittel ein Wert von 4 bei einer [[Streuung]] von 0,8165 zu erwarten.
 

Aktuelle Version vom 7. April 2019, 16:03 Uhr

Zufallsvariable

Zufallsvariable • Wahrscheinlichkeitsfunktion • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion • Verteilungsfunktion (stochastisch) • Randverteilung (stochastisch) • Bedingte Verteilung (stochastisch) • Stochastische Unabhängigkeit • Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Parameter zweidimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Bedingte Dichtefunktion • Bedingte Verteilungsfunktion • Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion • Dichtefunktion (eindimensional) • Dichtefunktion (zweidimensional) • Diskrete Zufallsvariable • Erwartungswert • Erwartungswert (diskret) • Erwartungswert (stetig) • Korrelationskoeffizient (stochastisch) • Kovarianz (stochastisch) • Marginaldichte • Marginale Verteilung (stochastisch) • Randdichte • Randverteilungsfunktion • Realisation • Standardabweichung (stochastisch) • Standardisierung • Stetige Zufallsvariable • Tschebyschev-Ungleichung • Unabhängigkeit (stochastisch) • Varianz (stochastisch) • Varianz (stochastisch, diskret) • Varianz (stochastisch, stetig) • Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional) • Verteilungsfunktion (stochastisch, zweidimensional) • Verteilungsfunktion der Randverteilung • Wahrscheinlichkeitsdichte (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsdichte (zweidimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (zweidimensional) • Verteilung (stochastisch) • Wahrscheinlichkeitsverteilung

Grundbegriffe

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen , symbolisiert mit oder , ist das stochastische Pendant zum arithmetischen Mittel einer empirischen Häufigkeitsverteilung.

Er ist derjenige Wert der Zufallsvariablen, dessen Eintreffen vor der Durchführung des Zufallsexperimentes im Mittel zu erwarten ist.

Wenn das Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird, ist der Wert, der bei einer großen Zahl von -Werten als Durchschnitt zu "erwarten" ist.

Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable

Sei eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationen und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion .

Dann ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von gegeben durch

Seien und zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen und der zugehörigen zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion .

Dann sind die Erwartungswerte der Randverteilungen von und gegeben durch

Seien und zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen und den zugehörigen bedingten Verteilungen und .

Dann sind die Erwartungswerte der bedingten Verteilungen von und gegeben durch

Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable

Sei eine stetige Zufallsvariable mit den Realisationen und der zugehörigen Dichtefunktion .

Dann ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von gegeben durch

Seien und zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen und der zugehörigen zweidimensionalen Dichtefunktion .

Dann sind die Erwartungswerte der Randverteilungen von und gegeben durch

Seien und zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen und den zugehörigen bedingten Verteilungen und .

Dann sind die Erwartungswerte der bedingten Verteilungen von und gegeben durch

Varianz

Die Varianz, symbolisiert mit oder , ist im allgemeinen als Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert definiert:

Varianz einer diskreten Zufallsvariable

Sei eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationen und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion .

Dann ist die Varianz der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von gegeben durch

Seien und zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen und der zugehörigen zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion .

Dann sind die Varianzen der Randverteilungen von und gegeben durch

Seien und zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen und den zugehörigen bedingten Verteilungen und .

Dann sind die Varianzen der bedingten Verteilungen von und gegeben durch

Varianz einer stetigen Zufallsvariable

Sei eine stetige Zufallsvariable mit den Realisationen und der zugehörigen Dichtefunktion .

Dann ist die Varianz der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von gegeben durch

Seien und zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen und der zugehörigen zweidimensionalen Dichtefunktion .

Dann sind die Varianzen der Randverteilungen von und gegeben durch

Seien und zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen und den zugehörigen bedingten Verteilungen und .

Dann sind die Varianzen der bedingten Verteilungen von und gegeben durch

Standardabweichung

Als Standardabweichung wird die Wurzel aus der Varianz bezeichnet, also

.

Sie ist ein Parameter, der die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von beschreibt.

Ein großer Wert der Standardabweichung weist darauf hin, dass die Zufallsvariable Werte in einem großen Bereich um den Erwartungswert annehmen kann.

Ein kleiner Wert der Standardabweichung bedeutet, dass die Werte von hauptsächlich nahe am Erwartungswert liegen.

Standardisierung

Vielfach erweist sich eine Transformation, durch die sowohl eine Zentrierung als auch eine Normierung erreicht wird, als günstig.

Eine derart standardisierte Zufallsvariable ist definiert durch

Sie hat den Erwartungswert und die Varianz .

Tschebyschev-Ungleichung

Die Tschebyschev-Ungleichung gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert innerhalb bzw. außerhalb eines zentralen Bereiches um den Erwartungswert annimmt.

Dafür ist nur die Kenntnis des Erwartungswertes und der Varianz von , jedoch nicht die Kenntnis der Verteilung von erforderlich.

Ausgegangen wird von einem zentralen Schwankungsintervall um :

Definition:

Für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianz gilt bei beliebigem

Für , folgt

Für das Komplementärereignis, dass die Zufallsvariable einen Wert außerhalb des k-fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt, gilt gemäß den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

bzw. für

Die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und hängen von der konkreten Verteilung von ab.

Zusatzinformationen

Erwartungswert von Linearkombinationen

Seien und zwei Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten und beliebig. Dann gilt

  • für
  • für

Varianz von Linearkombinationen

Seien und zwei Zufallsvariablen mit den Varianzen und beliebige reelle Zahlen. Dann gilt:

  • für

Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Erwartungswerte und Varianzen von Linearkombinationen von Zufallsvariablen