Normalverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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par(new=TRUE)
 
 
 
legend("topright", lwd=4, col=c("black","green","blue","red","darkgreen"),c("N(0;1)","N(0;1/3)","N(0;2)","N(1;1)","N(2;1)"), bty="n")
 
 
 
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Der [[Parameter]] <math>\mu</math> beeinflusst die Lage der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] über der Abszisse.  
 
Der [[Parameter]] <math>\mu</math> beeinflusst die Lage der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] über der Abszisse.  

Version vom 20. Mai 2018, 10:21 Uhr

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Normalverteilung oder Gauß-Verteilung

Eine stetige Zufallsvariable heißt normalverteilt mit den Parametern und , abgekürzt , wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch:

die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:

Aus der Dichtefunktion bzw. der Verteilungsfunktion ist erkennbar, dass die Normalverteilung von den beiden Parametern und abhängt.

Diese Parameter sind der Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen .

Die Normalverteilung wird auch als Gauß-Verteilung bezeichnet.

Sie ist die wichtigste stetige Verteilung, weil

  • bei vielen praktischen Anwendungen zumindest näherungsweise die Verteilungsgestalt einer Normalverteilung vorliegt;
  • sie eine approximative Bestimmung vieler anderer Verteilungen ermöglicht;
  • sie bei einer Vielzahl von statistischen Maßzahlen als Verteilungsmodell unterstellt werden kann, wenn der Datensatz groß genug ist.

Eine normalverteilte Zufallsvariable kann theoretisch alle Werte zwischen und annehmen, d.h. ihr Wertebereich ist nach oben und unten unbegrenzt.

Gauß'sche Glockenkurve

Die Dichtefunktion einer Gauß-Verteilung wird auch als Gauß'sche Glockenkurve bezeichnet. Sie ist gegeben durch:

Zusatzinformationen

Lineare Transformation

Sei normalverteilt, und die durch eine Linearkombination erhaltene Zufallsvariable mit , dann ist wieder normalverteilt mit

Durch die Linearkombination ändert sich der Verteilungstyp nicht.

Die Werte der Parameter der transformierten Variablen ergeben sich dabei aus den Rechenregeln für den Erwartungswert und die Varianz:

.

Reproduktivitätseigenschaft

Gegeben seien Zufallsvariablen die identisch normalverteilt sind: .

Die Summe unabhängiger, normalverteilter Zufallsvariablen , d.h.

mit für mindestens ein , ist wieder normalverteilt:

Graphische Darstellung der Normalverteilung

Die folgende Grafik zeigt 5 Dichtefunktionen der Normalverteilung mit verschiedenen Parameterwerten für und .

Der Parameter beeinflusst die Lage der Verteilung über der Abszisse.

Durch Veränderung von verschiebt sich die komplette Kurve ohne Veränderung ihrer Gestalt.

Durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung des Parameters wird die Dichtefunktion auseinandergezogen bzw. zusammengedrückt, gleichzeitig sinkt bzw. steigt das Maximum.

Je größer ist, desto flacher und breiter ist die Kurve, je kleiner desto schmaler und höher ist die Kurve.

Die nachfolgenden Abbildungen zeigen gesondert die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der .

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curve(from=-2, to=6, dnorm(x, mean=2, sd=1), ylab="f(x)", col="darkgreen", main="Dichtefunktion der N(2; 1)", ylim=c(0.00,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")

</R>

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curve(from=-2, to=6, pnorm(x, mean=2, sd=1), ylab="F(x)", col="darkgreen", main="Verteilungsfunktion der N(2; 1)", ylim=c(0.00,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")

</R>

Weitere Eigenschaften der Normalverteilung

  • Die Dichtefunktion hat ihr globales Maximum (Modus) im Punkte
  • Die Dichtefunktion ist symmetrisch im Punkt . Aus der Symmetrie folgt, dass auch der Median ist.
  • Die Dichtefunktion hat an den Stellen und je einen Wendepunkt.
  • Für und nähert sich die Dichtefunktion asymptotisch dem Wert 0.

Die folgende Grafik zeigt diese Eigenschaften für die .

<R output="display">

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curve(from=-2, to=6, dnorm(x, mean=2, sd=1), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="black", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=1, lwd=2) abline(v=2, lwd=2) abline(v=3, lwd=2) axis(at=c(-2:6), side=1, tick=TRUE, labels=FALSE, lwd.ticks=2)

</R>

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=-2, to=6, pnorm(x, mean=2, sd=1), xaxt="n", ylab="F(x)", xlab="x", col="black", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=1, lwd=2) abline(v=2, lwd=2) abline(v=3, lwd=2) abline(h=0.5, lwd=2, lty=3) axis(at=c(-2:6), side=1, tick=TRUE, labels=TRUE, lwd.ticks=2)

</R>