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Multiplikationssatz - Versionsgeschichte
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H0130wij am 7. April 2019 um 13:45 Uhr
2019-04-07T13:45:40Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="de-x-formal">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 7. April 2019, 14:45 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{Wahrscheinlichkeitsrechnung}}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=={{Vorlage:Überschrift}}==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=={{Vorlage:Überschrift}}==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
</table>
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Haberema: Die Seite wurde neu angelegt: „=={{Vorlage:Überschrift}}== ===Multiplikationssatz=== Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann…“
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<p>Die Seite wurde neu angelegt: „=={{Vorlage:Überschrift}}== ===Multiplikationssatz=== Durch Umstellung der Definition der <a href="/mmstat/Bedingte_Wahrscheinlichkeit" title="Bedingte Wahrscheinlichkeit">bedingten Wahrscheinlichkeit</a> kann…“</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>=={{Vorlage:Überschrift}}==<br />
<br />
===Multiplikationssatz===<br />
<br />
Durch Umstellung der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]] kann man die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Durchschnitt von Ereignissen]] berechnen. <br />
<br />
Für zwei [[Ereignis]]se <math>A</math> und <math>B</math> ist das die [[Wahrscheinlichkeit]], dass sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> eintritt:<br />
<br />
<math> P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B) </math><br />
<br />
bzw. für drei [[Ereignis]]se <math> A_{1},\; A_{2} </math> und <math>\,A_{3}</math>:<br />
<br />
<math> P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3} |A_{1}\cap A_{2}) </math><br />
<br />
oder für die [[Ereignis]]se <math>A_{1},\ldots, A_{n}</math>:<br />
<br />
<math> P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}|A_{1}\cap\ldots\cap A_{n-1})</math><br />
<br />
[[Kategorie:Statistik I&II]]<br />
<br />
===Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit===<br />
<br />
Die bei [[Unabhängige Ereignisse|unabhängigen Ereignissen]] gültige Beziehung <math> P( A\cap B ) = P(A)\cdot P(B) </math> heißt ''Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit'' bzw. Multiplikationssatz für [[unabhängige Ereignisse]].<br />
<br />
Die Multiplikationsregel kann für den Fall von <math>n</math> [[Ereignis]]sen verallgemeinert werden:<br />
<br />
Seien <math> A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} </math> die [[Ereignis]]se eines [[Ereignisraum]]es <math> S </math> mit positiven [[Wahrscheinlichkeit]]en. Dann gilt für jede Auswahl <math>A_{i1},\ldots,A_{im}</math> mit <math> m \leq n </math>:<br />
<br />
<math> P\left( A_{i_{1}}\cap\ldots\cap A_{i_{m}}\right) =P\left(A_{i_{1}}\right)\cdot P\left( A_{i_{2}}\right)\cdot\ldots\cdot P\left( A_{i_{m}}\right)</math><br />
<br />
=={{Vorlage:Überschrift_2}}==<br />
<br />
===Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit===<br />
<br />
Zu zeigen ist: Bei [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] gilt <math> P( A \cap B ) = P( A ) \cdot P( B ) </math><br />
<br />
Der Beweis verwendet die Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]]:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="5"<br />
|-<br />
|<math>\,P(A|B)</math><br />
|<math>=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Unter [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] gilt <math>\,P(A|B) = P(A)</math>. Somit:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="5"<br />
|<math>\,P(A)</math><br />
|<math>=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Durch Umstellen erhält man:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="5"<br />
|<math>P(A \cap B)</math><br />
|<math>\,=P(A)\cdot P(B)</math><br />
|}</div>
Haberema