Multiplikationssatz

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Grundbegriffe

Multiplikationssatz

Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.

Für zwei Ereignisse und ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl als auch eintritt:

bzw. für drei Ereignisse und :

oder für die Ereignisse :

Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Multiplikationsregel kann für den Fall von Ereignissen verallgemeinert werden:

Seien die Ereignisse eines Ereignisraumes mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl mit :

Zusatzinformationen

Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt

Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

Unter Unabhängigkeit gilt . Somit:

Durch Umstellen erhält man: