Quelltext der Seite Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch)

{{Schaetztheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Mittlere quadratische Abweichung (eng. Mean Squared Error)===

Die ''mittlere quadratische Abweichung'' oder ''Mean Squared Error (MSE)'' gibt den Schätzfehler an, der bei Verwendung der [[Schätzfunktion]] <math>\hat{\theta}</math> zu erwarten ist.

Er misst nicht den tatsächlichen Schätzfehler und macht deshalb keine Aussage darüber, wie weit der [[Schätzwert]] <math>\hat{\vartheta}</math>, den man aufgrund einer konkreten [[Stichprobe]] erhält, vom wahren [[Parameter der Grundgesamtheit|Parameter <math>\vartheta</math> der Grundgesamtheit]] entfernt liegt. 

Zwar ist der [[Parameter der Grundgesamtheit|Parameter <math>\vartheta</math>]] für konkrete Situationen unbekannt, jedoch kann man für jeden Wert, den <math>\vartheta</math> annehmen kann, den MSE berechnen.

Der MSE ist definiert als:

<math>MSE=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]</math>

Durch einige Umformungen kann der MSE auch folgendermaßen definiert werden:

<math>MSE=E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}\right]+\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}=Var\left(\hat{\theta}\right)+\left(\mbox{Verzerrung}\;\left(\hat{\theta}\right)\right)^{2}</math>

Eine Herleitung dieser Behauptung findet sich weiter unten auf dieser Seite unter "Herleitung der mittleren quadratischen Ableitung".

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Herleitung der mittleren quadratischen Abweichung===

Der MSE ist definiert als:

<math>MSE=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]</math>

Durch Addition und gleichzeitige Subtraktion von <math>E\left[\hat{\theta}\right]</math> bleibt der Ausdruck unverändert:

<math>MSE=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]=E\left[\left(\hat{\theta} - E\left[\hat{\theta}\right]+E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>

Nach Ausführung der Quadrierung folgt:

{|
|<math>MSE\;</math>
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]+E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}+2\cdot\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)+\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|}

Da <math>\theta</math> und <math>E\left[\theta\right]</math> konstante Größen sind, folgt für die [[Erwartungswert]]bildung der einzelnen Terme:

{|
|<math>MSE\;</math>
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]+E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}+2\cdot\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)+\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}\right]+2\cdot E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)\right]+E\left[\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|}

Für den mittleren Term ergibt sich:

<math>2\cdot E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)\right]=2 \cdot \left( E \left[ \hat{\theta} \right] - E \left[ \hat{\theta} \right] \right) \cdot \left( E \left[ \hat{\theta} \right] - \vartheta \right) =0</math>

und für den letzten Term:

<math>E\left[\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]=E\left[ \left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right) \cdot \left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right) \right]=\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right) \cdot \left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)=\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}</math>

Damit

{|
|<math>MSE\;</math>
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]+E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math> =E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}+2\cdot\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)+\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}\right]+2\cdot E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)\cdot\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)\right]+E\left[\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math>=E\left[\left(\hat{\theta}-E\left[\hat{\theta}\right]\right)^{2}\right]+\left(E\left[\hat{\theta}\right]-\vartheta\right)^{2}</math>
|-
|
|<math>=Var\left(\hat{\theta}\right)+\left(\mbox{Verzerrung}\;\left(\hat{\theta}\right)\right)^{2}</math>
|}