Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz: Unterschied zwischen den Versionen

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Auf die Angabe der numerischen Resultate wird verzichtet.
 
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Auch hier ist zu sehen, dass die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>L</math> der Intervalle]] und der [[Schätzfehler]] <math>E</math> von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] variieren und somit [[Zufallsvariable]]n sind, was auf die unbekannte [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] der [[Grundgesamtheit]] zurückzuführen ist.  
 
Auch hier ist zu sehen, dass die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>L</math> der Intervalle]] und der [[Schätzfehler]] <math>E</math> von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] variieren und somit [[Zufallsvariable]]n sind, was auf die unbekannte [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] der [[Grundgesamtheit]] zurückzuführen ist.  
  

Version vom 29. Mai 2018, 14:19 Uhr

Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei Normalverteilung der Grundgesamtheit

Es gilt:

.

Weiterhin sei die Standardabweichung als Wurzel aus der Stichprobenvarianz und das -Quantil der t-Verteilung.

Dann ist

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz zum Konfidenzniveau

Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte vor, dann lassen sich daraus

  • die Punktschätzwerte und
bestimmen.

Da die t-Verteilung mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade und somit mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die konvergiert, kann bei genügend großem Stichprobenumfang approximativ die Standardnormalverteilung und statt verwendet werden. Man erhält dann ein approximatives Konfidenzintervall.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit

Wenn die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt und die Varianz unbekannt ist, kann unter der Voraussetzung eines großen Stichprobenumfanges das Konfidenzintervall

verwendet werden, das näherungsweise das Konfidenzniveau

hat.

Dies lässt sich darauf zurückführen, dass

  • die Schätzfunktion eine konsistente Schätzfunktion für ist und somit auch konsistent ist, d.h. es kann bei sehr großem Stichprobenumfang davon ausgegangen werden, dass hinreichend wenig um den wahren Wert streut;

Zusatzinformationen

Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

Es gilt:

.

Die standardisierte Zufallsvariable lässt sich jedoch nicht mehr bestimmen, da nunmehr unbekannt ist.

Die Varianz muss aus der Stichprobe geschätzt werden. Eine geeignete Schätzfunktion ist die Stichprobenvarianz

Die Standardabweichung als Wurzel aus wird für die Standardisierung verwendet:

Die Zufallsvariable folgt bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade :

Für die standardisierte Zufallsvariable lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit

annimmt.

Dabei ist das -Quantil und das -Quantil der t-Verteilung.

Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung gilt:

und

Damit folgt:

Für die Wahrscheinlichkeit findet man in der Tabelle der t-Verteilung.

Die Verteilung ist somit bekannt und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter ab, so dass man nach Einsetzen von und einfachen Umformungen der Ungleichung ein Konfidenzintervall

zum Konfidenzniveau

erhält.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

hängen über von den Stichprobenvariablen ab und sind somit Zufallsvariablen.
Bei gegebenem Stichprobenumfang und Konfidenzniveau ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die auch verschiedene Länge bzw. verschiedenen Schätzfehler aufweisen können.
Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich ist in die t-Verteilung "eingearbeitet".

Beispiele

Haushaltsnettoeinkommen

Für eine Grundgesamtheit von Privathaushalten sei die Zufallsvariable das Haushaltsnettoeinkommen (in €).

Das mittlere Haushaltsnettoeinkommen dieser Grundgesamtheit, d.h. der Erwartungswert , ist unbekannt und soll geschätzt werden.

Über die Punktschätzung hinaus soll ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau und für die konkreten Stichproben das Schätzintervall angegeben werden.

Zur Schätzung von wird der Stichprobenmittelwert

als Schätzfunktion verwendet.

Eine Zufallsstichprobe vom Umfang liefert die Stichprobenwerte .

Nach Einsetzen dieser Stichprobenwerte in die Schätzfunktion erhält man einen Schätzwert

als Punktschätzung für das mittlere Haushaltsnettoeinkommen der Grundgesamtheit.

Die Angabe des Konfidenzintervalls wird entscheidend von den Informationen, die über die Grundgesamtheit vorliegen, bestimmt.

Konfidenzintervall bei normalverteilter Grundgesamtheit

Es wird wiederum davon ausgegangen, dass die Zufallsvariable (Haushaltsnettoeinkommen) in der Grundgesamtheit normalverteilt ist, jedoch sei nunmehr die Standardabweichung unbekannt: .

Für die Bestimmung eines Konfidenzintervalls für muß die Varianz geschätzt werden, was mittels der Schätzfunktion erfolgt.

Aufgrund dieser Informationen ist

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der Zufallsvariablen (Haushaltnettoeinkommen) zum Konfidenzniveau

Zum vorgegebenen Konfidenzniveau findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung:

.

Nach der Ziehung der Stichprobe ist

das sich für die Stichprobe ergebende Schätzintervall, in dem die Punktschätzwerte und sowie einzusetzen sind.

Um diese Veränderung in der Bestimmung des Konfidenzintervalls zu veranschaulichen, wird von den gleichen 25 einfachen Zufallsstichproben vom Umfang wie unter Punkt 1.1. ausgegangen.

Für die Stichprobe Nr. 25, deren Stichprobenwerte in der Tabelle 1 enthalten sind, ergibt sich ein mittleres Haushaltsnettoeinkommen von

und eine Standardabweichung

und damit das Schätzintervall

Die Interpretation dieses Schätzintervalls ist wie vorher.

Tabelle 3 enthält das mittlere Haushaltsnettoeinkommen , die Standardabweichung , das Schätzintervall sowie den Schätzfehler für die 25 Zufallsstichproben.

Tabelle 3: Mittleres Haushaltsnettoeinkommen (€) , Standardabweichung , Schätzintervall und Schätzfehler für 25 Zufallsstichproben vom Umfang

1 2413,40 1032,150 1930,34 2896,46 966,12
2 2317,00 872,325 1908,74 2825,26 816,52
3 2567,50 1002,008 2098,55 3036,45 937,90
4 2060,90 812,365 1680,71 2441,09 760,38
5 2363,50 1376,648 1719,22 3007,78 1288,56
6 2774,30 1213,779 2206,24 3342,63 1136,12
7 2298,80 843,736 1903,92 2693,68 789,76
8 2241,15 1116,827 1718,46 2763,84 1045,38
9 1915.30 1113,122 1394,35 2436,25 1041,90
10 2062,15 856,069 1661,50 2462,80 801,30
11 2267,75 1065,227 1769,21 2766,29 997,08
12 2163,10 1040,966 1675,92 2650,28 974,36
13 2635,00 1154,294 2094,78 3175,22 1080,44
14 2126,50 1103,508 1610,05 2642,95 1032,90
15 2243,15 1126,913 1715,74 2770,56 1054,82
16 2361,25 1166,260 1815,43 2907,07 1091,64
17 2607,25 848,019 2210,37 3004,13 793,76
18 2319,55 941,236 1879,04 2760,06 881,02
19 2203,85 974,980 1747,55 2660,15 912,60
20 2395,25 899,461 1974,29 2816,21 841,92
21 2659,00 969,720 2205,16 3112,84 907,68
22 2168,50 763,222 1811,31 2525,69 714,38
23 2110,30 1127,608 1582,57 2638,03 1055,46
24 1884,90 928,420 1450,39 2319,41 869,02
25 2415,00 1001,065 1946,49 2883,51 937,02

Die folgende Abbildung enthält die grafische Darstellung der 25 Punktschätzwerte und Schätzintervalle.

Auch hier wird einzig und allein zum Zweck der Veranschaulichung der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit als gestrichelte Linie in die Grafik eingefügt.

In diesem Fall überdeckt nur ein Schätzintervall (der Stichprobe Nr. 24) nicht den wahren Wert des mittleren Haushaltsnettoeinkommens.

Aus Tabelle 3 und Abb. 2 ist zu erkennen, dass hier die Länge der Intervalle und der Schätzfehler von Stichprobe zu Stichprobe variieren und somit Zufallsvariablen sind.

Die Ursache liegt in der unbekannten Standardabweichung der Grundgesamtheit, die geschätzt werden muss und in verschiedenen Schätzwerten resultiert.

Konfidenzintervall bei beliebig verteilter Grundgesamtheit

Es soll jetzt der in der Praxis am häufigsten auftretende Fall betrachtet werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen und die Standardabweichung in der Grundgesamtheit unbekannt sind.

Um überhaupt ein Konfidenzintervall angeben zu können, muss der Stichprobenumfang ausreichend groß sein, so dass der Zentrale Grenzwertsatz zur Anwendung kommen kann. Es wird gewählt.

Dann ist

ein approximatives Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der Zufallsvariablen (Haushaltnettoeinkommen) zum näherungsweisen Konfidenzniveau

Zum vorgegebenen Konfidenzniveau findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

.

Für 50 einfache Zufallsstichproben sind in der Abb. 3 die Punktschätzwerte und Schätzintervalle enthalten, wobei wiederum einzig und allein zum Zweck der Veranschaulichung der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit als gepunktete Linie in die Grafik eingefügt wurde.

Auf die Angabe der numerischen Resultate wird verzichtet.

Auch hier ist zu sehen, dass die Länge der Intervalle und der Schätzfehler von Stichprobe zu Stichprobe variieren und somit Zufallsvariablen sind, was auf die unbekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit zurückzuführen ist.

Von den 50 Schätzintervallen überdeckt zwei Schätzintervalle (4%) nicht den wahren Wert des mittleren Haushaltsnettoeinkommens.

Glühlampen

Ein Unternehmen stellt Glühlampen her. Die Marketing-Abteilung benötigt für Werbungszwecke eine Angabe über die durchschnittliche Brenndauer einer bestimmten Sorte von Glühlampen.

Aus statistischer Sicht ergeben sich dabei folgende Überlegungen:

  • Die Erfassung der Grundgesamtheit, d.h. der Gesamtproduktion dieser Sorte von Glühlampen, ist aus zwei Gründen nicht möglich:
    • Da auch in Zukunft diese Glühlampen produziert werden, liegt die Grundgesamtheit nicht vollständig vor.
    • Mit der Feststellung der Brenndauer ist die Zerstörung der Glühlampen verbunden.
  • Um systematische Fehler bei der Erfassung des Brenndauer zu vermeiden, wird eine Zufallsstichprobe gezogen.

Zweiseitiges (approximatives) Konfidenzintervall

Wenn jedoch der Stichprobenumfang genügend groß gewählt wird, kann ein approximatives Konfidenzintervall

zum näherungsweisen Konfidenzniveau

ermittelt werden.

Zum vorgegebenen Konfidenzniveau findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: .

Um einerseits eine ausreichende Approximation durch die Normalverteilung zu garantieren, andererseits aber die Kosten der Stichprobe gering zu halten, soll der Umfang der Stichprobe so klein als notwendig gehalten werden. In diesem Sinn wird gewählt.

Die konkrete Stichprobe führte zu folgenden Punktschätzungen:

  • mittlere Brenndauer in der Stichprobe :
  • Varianz in der Stichprobe:

Damit erhält man das Schätzintervall:

Da für das Schätzverfahren eine hohe Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 (d.h. recht nahe bei Eins) gewählt wurde, kann man davon ausgehen, eines der Schätzintervalle zum Stichprobenumfang erhalten zu haben, dass den wahren Wert enthält.

Einseitiges Konfidenzintervall

Aus der Sicht des Leiters der Marketing-Abteilung ist dieses Ergebnis insoweit unbefriedigend, dass aus psychologischen Gründen bei der Werbung keine Angabe über die obere Grenze der mittleren Brenndauer erfolgen sollte.

Er lässt deshalb ein nach oben offenes Konfidenzintervall, d.h. ein einseitiges Konfidenzintervall, bestimmen. Zum näherungsweisen Konfidenzniveau

findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

.

Mit den Ergebnissen der gleichen Stichprobe ergibt sich für die untere Grenze:

und für das einseitige Schätzintervall

Auch für dieses Ergebnis gilt eine analoge Interpretation: Aufgrund der hohen Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 geht man davon aus, eines der einseitigen Schätzintervalle zum Stichprobenumfang erhalten zu haben, dass den wahren Wert enthält.