Grundbegriffe
Konfidenzintervall bei Normalverteilung der Grundgesamtheit
Die Zufallsvariable
in der Grundgesamtheit sei normalverteilt mit
und
:
Dann ist
ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter
der normalverteilten Zufallsvariablen
mit bekannter Varianz
zum Konfidenzniveau
Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte
vor, dann ist
das arithmetische Mittel dieser Stichprobe (als eine Realisation von
) und
das sich für diese Stichprobe ergebende Schätzintervall.
Die allgemein gegebene Interpretation von Konfidenzintervallen bleibt uneingeschränkt gültig.
Konfidenzintervall bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit
Wenn die Verteilung der Zufallsvariablen
in der Grundgesamtheit unbekannt ist, d.h.
beliebig verteilt ist, dann lässt sich keine exakte Aussage über die Verteilung der Schätzfunktion
treffen.
Aus vorhergehenden Betrachtungen über den Zentralen Grenzwertsatz ist jedoch bekannt, dass die
Verteilung von
mit wachsendem Stichprobenumfang
gegen eine Normalverteilung strebt.
Somit gilt:
Bei genügend großen Stichprobenumfang
ist die Schätzfunktion
approximativ normalverteilt:
und die standardisierte Zufallsvariable
ist approximativ standardnormalverteilt:
.
Als Faustregel für einen genügend großen Stichprobenumfang gilt
.
Dann ist
ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter
, das approximativ das Konfidenzniveau
hat.
Zusatzinformationen
Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit
Die Zufallsvariable
in der Grundgesamtheit sei normalverteilt mit
und
:
Während die Varianz
bekannt sei, ist der Erwartungswert
unbekannt und soll unter Verwendung einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
geschätzt werden.
Die Stichprobenvariablen
sind dann unabhängig und ebenfalls normalverteilt mit
und
:
Daraus folgt, dass auch die Schätzfunktion
normalverteilt ist mit dem Erwartungswert
und der Varianz
:
Die standardisierte Zufallsvariable
ist standardnormalverteilt:
.
Für die standardisierte Zufallsvariable lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem
Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit
annimmt.
Dabei ist
das
-Quantil und
das
-Quantil der Standardnormalverteilung.
Aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt:
und
Damit folgt:
Für die Wahrscheinlichkeit
findet man
in der Tabelle der Standardnormalverteilung.
Nach Einsetzen von
und einigen elementaren Umformungen der
Ungleichung erhält man:
Mit dem letzten Ausdruck ist das Konfidenzniveau für ein Konfidenzintervall für
gegeben.
Der Faktor
als Vielfaches der Standardabweichung der Schätzfunktion ergibt sich zu:
.
Die Bedingungen für ein Konfidenzintervall sind erfüllt, denn die Verteilung ist bekannt (Standardnormalverteilung) und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter
ab.
Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

- Die Grenzen des Intervalls haben zu
den gleichen Abstand. Dieser Abstand, d.h. die halbe Länge des Intervalls, wird in diesem Fall auch als Schätzfehler bezeichnet und mit
symbolisiert.


- und der Schätzfehler
hängen nicht von den Stichprobenvariablen
ab.
- Bei gegebenen
,
und
ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die aber alle die gleiche feste Länge bzw. den gleichen festen Schätzfehler aufweisen.
- Je größer (kleiner) die Standardabweichung
ist, desto breiter (schmaler) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.
- Je größer (kleiner) das Konfidenzniveau
ist, um so größer (kleiner) ist
und umso breiter (schmaler) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.
- Je größer (kleiner) der Stichprobenumfang ist, desto schmaler (breiter) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.
- Im Zusammenspiel von Konfidenzniveau und Stichprobenumfang lässt sich somit eine Steuerung für das Konfidenzintervall erreichen.