https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Konfidenzintervall_f%C3%BCr_den_Erwartungswert&feed=atom&action=historyKonfidenzintervall für den Erwartungswert - Versionsgeschichte2024-03-29T15:54:16ZVersionsgeschichte dieser Seite in MM*StatMediaWiki 1.39.6https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Konfidenzintervall_f%C3%BCr_den_Erwartungswert&diff=386&oldid=prevJacobdan: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Schaetztheorie}} =={{Vorlage:Überschrift}}== ===Konfidenzintervall für den Erwartungswert=== Die Zufallsvariable <math>X\;</math> in der Grundgesa…“2018-05-18T13:34:46Z<p>Die Seite wurde neu angelegt: „{{Schaetztheorie}} =={{Vorlage:Überschrift}}== ===Konfidenzintervall für den Erwartungswert=== Die <a href="/mmstat/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> <math>X\;</math> in der Grundgesa…“</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>{{Schaetztheorie}}<br />
<br />
=={{Vorlage:Überschrift}}==<br />
<br />
===Konfidenzintervall für den Erwartungswert===<br />
<br />
Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] habe den unbekannten [[Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu</math>, für den eine [[Intervallschätzung]] erfolgen soll. <br />
<br />
<math>X_{1},\ldots,X_{n}</math> seien die [[Stichprobenvariable]]n einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus dieser [[Grundgesamtheit]]. <br />
<br />
Es wurde bereits gezeigt, dass der [[Stichprobenmittelwert]]<br />
<br />
<math>\bar{X}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}</math><br />
<br />
ein geeigneter [[Punktschätzung|Punktschätzer]] für den unbekannten [[Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu</math> der [[Grundgesamtheit]] ist, da der [[Schätzer]] [[Erwartungstreue|erwartungstreu]] und [[Konsistenz|konsistent]] ist. <br />
<br />
Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> sind im Falle einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] (siehe Abschnitt [[Stichprobenverteilung]]en) gegeben mit<br />
<br />
<math>Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}</math><br />
<br />
<math>\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math><br />
<br />
Für die Konstruktion eines [[Symmetrisches Konfidenzintervall|symmetrischen Konfidenzintervalls]] für <math>\mu</math> wird<br />
<br />
* von der [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math> ausgegangen,<br />
* die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma(\bar{X})</math> als Präzisionsmaß verwendet und<br />
* ein Faktor <math>c</math> als Vielfaches der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> berücksichtigt, über den das vorgegebene [[Konfidenzniveau]] <math>1 -\alpha</math> einbezogen wird.<br />
<br />
Damit das Intervall<br />
<br />
<math>\left[ V_{u};V_{o}\right]=\left[\bar{X}-c\cdot\sigma\left(\bar{X}\right);\;\bar{X}+c\cdot\sigma\left(\bar{X}\right)\right]</math><br />
<br />
bzw. nach Einsetzen von <math>\sigma(\bar{X})</math><br />
<br />
<math>\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[\bar{X}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\;\bar{X}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math><br />
<br />
ein [[Konfidenzintervall]] zum [[Konfidenzniveau]]<br />
<br />
<math>P\left(\bar{X}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =1-\alpha</math><br />
<br />
sein kann, müssen die beiden Bedingungen für ein [[Konfidenzintervall]] erfüllt sein.<br />
<br />
Die erste Bedingung <math>V_{u} \leq V_{o}</math> für alle möglichen [[Realisation|realisierbaren]] [[Stichprobe]]n <math>X_{1},\ldots,X_{n}</math><br />
<br />
ist erfüllt.<br />
<br />
Die Erfüllung der zweiten Bedingung<br />
<br />
<math>P\left(V_{u} \leq \mu \leq V_{o}\right) = 1 - \alpha</math>, wobei die [[Wahrscheinlichkeit]] tatsächlich (bzw. [[Approximation|approximativ]]) und ohne Kenntnis des wahren Wertes des [[Parameter]]s <math>\mu</math> bestimmbar sein muss, setzt jedoch die Kenntnis der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math> und damit der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] voraus. <br />
<br />
Das bereitet oftmals erhebliche praktische Schwierigkeiten, da im Allgemeinen die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>X\;</math> unbekannt ist.<br />
<br />
Es werden hier die Fälle betrachtet, dass<br />
<br />
* <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist, bzw.<br />
<br />
* die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung von <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] beliebig ist, jedoch [[Stichprobe]]n großen [[Stichprobenumfang|Umfang]]s gezogen werden können.<br />
<br />
Ein weiteres Problem liegt darin, dass in den [[Grenzen des Konfidenzintervalls|Intervallgrenzen]] die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] enthalten ist, so dass nach den beiden Möglichkeiten<br />
<br />
* <math>\sigma</math> ist bekannt und<br />
<br />
* <math>\sigma</math> ist unbekannt<br />
<br />
unterschieden werden muss.<br />
<br />
In den Unterkapiteln <br />
<br />
*[[Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz]]<br />
<br />
*[[Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz]]<br />
<br />
werden diese Fälle gesondert betrachtet.</div>Jacobdan