Gütefunktion des Gauß-Tests: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 14. September 2018, 10:15 Uhr

Testtheorie

Grundbegriffe der Testtheorie • Entscheidungsbereiche • Entscheidungssituationen • Zweiseitiger Test • Einseitiger Test • Gütefunktion • Test auf Mittelwert • Gauß-Test • Gütefunktion des Gauß-Tests • Einstichproben-t-Test • Test auf Anteilswert • Test auf Differenz zweier Mittelwerte • Zweistichproben-Gauß-Test • Zweistichproben-t-Test • Chi-Quadrat-Anpassungstest • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Ablehnungsbereich der Nullhypothese • alpha-Fehler • Alternativhypothese • Anpassungstest • beta-Fehler • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungsbereiche (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungsbereiche (Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Test auf Anteilswert) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungssituationen (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Test auf Anteilswert) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-t-Test) • Fehler 1. Art • Fehler 2. Art • Goodness-of-fit-Test • Gütefunktion des Tests auf Anteilswert • Hypothese • Kritischer Wert • Linksseitiger Test • Macht eines Tests • Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese • Nullhypothese • OC-Kurve • Operationscharakteristik • Parametertest • Prüfgröße • Prüfwert • Prüfwert (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Prüfwert (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Prüfwert (Einstichproben-t-Test) • Prüfwert (Gauß-Test) • Prüfwert (Test auf Anteilswert) • Prüfwert (Zweistichproben-Gauß-Test) • Prüfwert (Zweistichproben-t-Test) • Rechtsseitiger Test • Signifikanzniveau • Statistischer Test • Testgröße • Teststatistik • Teststatistik (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Teststatistik (Einstichproben-t-Test) • Teststatistik (Gauß-Test) • Teststatistik (Test auf Anteilswert) • Teststatistik (Zweistichproben-Gauß-Test) • Teststatistik (Zweistichproben-t-Test) • Verteilungstest • Zweistichprobentest

Grundbegriffe

Gütefunktion des Gauß-Tests

Für die Beurteilung der Güte eines Tests ist entscheidend, dass vorhandene Abweichungen des wahren Parameterwertes vom hypothetischen Wert möglichst zuverlässig aufgedeckt werden.

Es interessiert daher die Wahrscheinlichkeit, sich im Ergebnis des Tests für zu entscheiden, wenn der wahre Parameterwert vom hypothetischen Wert verschieden ist.

Diese Wahrscheinlichkeit kann mittels der Gütefunktion gewonnen werden.

Wenn bekannt ist und der hypothetische Wert , das Signifikanzniveau und der Stichprobenumfang vorgegeben sind, können die Werte der Gütefunktion berechnet werden, indem nacheinander alle zulässigen Werte für eingesetzt werden.

Die Gütefunktion kann bereits vor der Stichprobenerhebung ermittelt werden, da sie sich nicht auf konkrete Realisationen der Teststatistik bezieht.

Die Gütefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von in Abhängigkeit vom Parameterwert an:

Zweiseitiger Test

Bei einem zweiseitigen Test ist die Nullhypothese in Wirklichkeit nur wahr, wenn gilt, so dass in diesem Fall mit der Ablehnung der Nullhypothese ein Fehler 1. Art begangen wird und

ist.

Für alle anderen zulässigen Werte von gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen.

Es ist

Die Gütefunktion kann beim zweiseitigen Test für vorgegebene Werte von wie folgt berechnet werden:

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art lässt sich leicht über die Gütefunktion ermitteln:

Charakteristika der Gütefunktion beim zweiseitigen Test

  • An der Stelle nimmt sie ihr Minimum mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau an.
  • Sie ist symmetrisch zum hypothetischen Wert
  • Sie wächst mit zunehmenden Abstand des wahren Parameterwertes vom hypothetischen Wert und nimmt schließlich den Wert Eins an.

Das charakteristische Bild der Gütefunktion beim zweiseitigen Test zeigt die folgende Abbildung.


In dieser Abbildung sind zwei mögliche Alternativwerte und eingetragen.

Wenn in Wirklichkeit der wahre Parameterwert in der Grundgesamtheit ist, so existiert eine relativ große Abweichung .

Die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung für die Alternativhypothese ist groß und damit die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art klein.

Wenn in Wirklichkeit der wahre Parameterwert in der Grundgesamtheit ist, so existiert eine relativ kleine Abweichung .

Die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung für die Alternativhypothese ist klein und damit die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art groß.

Dies ist intuitiv plausibel, denn kleine Abweichungen sind schwieriger zu entdecken.

Rechtsseitiger Test

Im Fall eines rechtsseitigen Tests gilt die Nullhypothese in Wirklichkeit für alle zulässigen Werte des Parameters , für die ist.

Für diese Fälle wird mit der Ablehnung der Nullhypothese ein Fehler 1. Art begangen, dessen Wahrscheinlichkeit höchstens gleich dem Signifikanzniveau ist:

Für alle zulässigen Werte von gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen.

Es ist

Die Gütefunktion beim rechtsseitigen Test wird für vorgegebene Werte von nach folgender Formel berechnet:

Das charakteristische Bild der Gütefunktion beim rechtsseitigen Test zeigt die folgende Abbildung.


Für alle gültigen Werte der Alternativhypothese, d.h. , wächst die Gütefunktion und nimmt schließlich den Wert Eins an.

Je größer dabei die Differenz wird, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung für die Alternativhypothese und desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art.

Für entspricht der Wert der Gütefunktion dem vorgegebenen Signifikanzniveau .

Für alle anderen gültigen Werte der Nullhypothese, d.h. , ist die Gütefunktion kleiner als .

Je größer dabei die Differenz wird, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit , einen Fehler 1. Art zu begehen.

Linksseitiger Test

Im Fall eines linksseitigen Tests gilt die Nullhypothese in Wirklichkeit für alle zulässigen Werte des Parameters , für die ist.

Für diese Fälle wurde mit der Ablehnung der Nullhypothese ein Fehler 1. Art begangen, dessen Wahrscheinlichkeit höchstens gleich dem Signifikanzniveau ist:

Für alle zulässigen Werte von gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wurde eine richtige Entscheidung getroffen.

Es ist

Die Gütefunktion beim linksseitigen Test wird für vorgegebene Werte von nach folgender Formel berechnet:

Das charakteristische Bild der Gütefunktion beim linksseitigen Test zeigt die folgende Abbildung.


Hier gelten analoge Interpretationen wie für die Gütefunktion eines rechtsseitigen Tests.

Zusatzinformationen

Herleitung der Gütefunktion

Für einen rechtsseitigen Test wird die Formel für die Berechnung der Gütefunktion hergeleitet.

Es ist:

Wenn der wahre Parameterwert in der Grundgesamtheit ist, ergibt sich ausgehend von der letzten Bestimmungsgleichung für die Gütefunktion:

Der mittlere Term der Ungleichung im Wahrscheinlichkeitsausdruck wird mit erweitert und weiter umgeformt:

Analog können die Formeln für die Berechnung der Gütefunktion bei einseitigen Tests hergeleitet werden.

Eigenschaften der Gütefunktion

Für die Güte eines Tests ist es von Vorteil, wenn die Wahrscheinlichkeit, sich richtigerweise für zu entscheiden, mit wachsendem Abstand des wahren Parameterwertes vom hypothetischen Wert schnell anwächst, d.h. wenn die Gütefunktion recht steil verläuft.

Es gibt zwei grundsätzliche Möglichkeiten, die Gütefunktion zu beeinflussen:

Stichprobenumfang

Wie aus den Formeln für die Berechnung der Gütefunktion ersichtlich ist, hängt außer an der Stelle vom Stichprobenumfang ab.

Unter sonst gleichen Bedingungen wird die Gütefunktion mit wachsendem Stichprobenumfang steiler, was für jeden Wert (mit beim zweiseitigen Test, beim rechtsseitigen Test bzw. beim linksseitigen Test) eine höhere Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung der und eine kleinere Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art impliziert.

Die Wahrscheinlichkeit, vorhandene Unterschiede zwischen dem wahren Parameterwert und dem hypothetischen Wert zu erkennen, wächst mit dem Stichprobenumfang.

Bei festem Signifikanzniveau lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art über die Erhöhung des Stichprobenumfangs verringern.

Die nachstehende Abbildung zeigt für einen zweiseitigen Test bei vorgegebenem Signifikanzniveau die Gütefunktionen für 4 verschiedene Stichprobenumfänge, wobei gilt.


Signifikanzniveau

Je größer unter sonst gleichen Bedingungen das Signifikanzniveau (die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art) ist, desto höher verläuft der Graf der Gütefunktion.

Dies impliziert, dass mit einer Vergrößerung von für jeden Wert (mit beim zweiseitigen Test, beim rechtsseitigen Test bzw. beim linksseitigen Test) die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung der größer und die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kleiner wird.

Bei festem Stichprobenumfang können also die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten nicht gleichzeitig niedrig gehalten werden.

Die folgende Abbildung zeigt für einen zweiseitigen Test bei gegebenem Stichprobenumfang die Gütefunktionen für 2 verschiedene Signifikanzniveaus:

die rote Linie repräsentiert für und die blaue Linie für .


Beispiele

Mehl

In einem Unternehmen wird Mehl maschinell in Tüten abgefüllt. Das Sollgewicht beträgt 1000 g, auf das die Maschine justiert wurde.

Das Ist-Gewicht der Mehltüten weist gewisse Schwankungen auf, die im Produktionsprozess nicht vermieden werden können.

Damit ist das Ist-Gewicht eine Zufallsvariable: "Ist-Gewicht der Mehltüten".

Der Erwartungswert des Ist-Gewichts , mit dem die Maschine derzeit arbeitet, ist unbekannt. Er soll jedoch dem Sollgewicht entsprechen, d.h. .

Die Konsequenz ist, dass nach einer gewissen Laufzeit der Maschine überprüft werden muss, ob die ursprüngliche Justierung der Maschine noch eingehalten wird oder ob schon erhebliche Abweichungen auftreten.

Dazu wird in gewissen Abständen eine Zufallsstichprobe vom Umfang aus der Produktion entnommen, für die Stichprobe das durchschnittliche Ist-Gewicht ermittelt und das Ergebnis mit dem Sollwert verglichen.

Bei erheblichen (signifikanten) Abweichungen muss eine neue Justierung der Maschine vorgenommen werden.

Aus der Sicht des Unternehmers sind Abweichungen nach beiden Seiten vom Sollwert relevant.

Wird im Mittel zu wenig abgefüllt, würde dieser Umstand über kurz oder lang bei Überprüfungen (z.B. durch Verbraucherorganisationen) bekannt und der Reputation des Unternehmens erheblichen Schaden zufügen.

Wird im Mittel zu viel abgefüllt, schmälert dies den Gewinn des Unternehmers. Es ist somit ein zweiseitiger Test durchzuführen:

Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von durchgeführt werden.

Es wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen. Aufgrund des großen Umfangs der Grundgesamtheit (Gesamtproduktion) kann dabei von einer einfachen Zufallsstichprobe ausgegangen werden.

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Als Schätzfunktion für den unbekannten Erwartungswert der Grundgesamtheit wird der Stichprobenmittelwert verwendet.

Es sei aufgrund der langjährigen Nutzung der Maschine bekannt, dass das Ist-Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable mit der Standardabweichung ist.

Dann folgt für die Schätzfunktion , dass sie ebenfalls normalverteilt ist und eine Standardabweichung von aufweist.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese, d.h. wenn die Maschine im Mittel tatsächlich das Sollgewicht von 1000 g einhält, gilt:

.

Für die Teststatistik

folgt:

.

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung findet man für den oberen kritischen Wert .

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt .

Damit ergeben sich die Entscheidungsbereiche des Tests zu:

Nichtablehnungsbereich der

Ablehnungsbereich der


| Abb. 1: Verteilung der Teststatistik unter und Entscheidungsbereiche}}

Prüfwert

Es werden nunmehr die 25 Mehltüten zufällig ausgewählt, ihr Ist-Gewicht festgestellt und das arithmetische Mittel dieser Gewichte berechnet, für das sich ergeben habe.

Als Prüfwert erhält man

Entscheidungssituationen

Da in den Nichtablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit verschieden vom hypothetischen Wert ist, d.h. dass die Maschine den Sollwert von 1000 g nicht einhält.

Gütefunktion

Bei dieser Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Die Nichtablehnung der kann daher nur angemessen beurteilt werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen derartigen Fehler berücksichtigt wird.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist jedoch unbekannt, da der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit unbekannt ist.

Man kann aber für verschiedene mögliche Alternativwerte die Gütefunktion und über die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit von ermitteln.

Es sei z.B. angenommen, dass das tatsächliche mittlere Ist-Gewicht ist, mit dem die Maschine arbeitet.

Da für in Wirklichkeit die Alternativhypothese stimmt, gibt die Gütefunktion an dieser Stelle die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung für an:

Mit und erhält man:

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an der Stelle ist:

Wenn das tatsächliche durchschnittliche Ist-Gewicht beträgt, wird in rund 83% aller Stichproben vom Umfang die Abweichung vom Sollgewicht 1000 g durch den Test nicht aufgedeckt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist sehr hoch, da die Differenz relativ klein ist.

Wenn dagegen z.B. g der wahre Parameterwert in der Grundgesamtheit ist, dann gibt ebenfalls die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung für an:

, da in Wirklichkeit die Alternativhypothese stimmt.

Man erhält durch analoge Berechnungen:

und

In nur rund 0,02% aller Stichproben vom Umfang wird in diesem Fall die Abweichung vom Sollgewicht durch den Test nicht aufgedeckt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist sehr klein, da die Differenz groß ist.

Für die gegebenen Werte von und sind in der folgenden Tabelle und für weitere zulässige Werte von enthalten.

Gültigkeit von

Die grafische Darstellung der Gütefunktion enthält die Abb. 2.



| Abb. 2: Gütefunktion mit , , und }}

Eine Möglichkeit, die Gütefunktion bei festem Signifikanzniveau zu beeinflussen, ist die Erhöhung des Stichprobenumfangs .

Das soll exemplarisch unter den Annahmen gezeigt werden, dass bzw. der wahre Parameterwert in der Grundgesamtheit ist, wobei weiterhin und gelten.

Abb. 3 zeigt die Gütefunktionen für die 4 verschiedenen Stichprobenumfänge.

BEARBEITUNG

Wird z.B. vermutet, dass die Maschine nur mit einer geringfügigen Abweichung vom Sollwert arbeitet, so ist ein größerer Stichprobenumfang empfehlenswert, um vorhandene Abweichungen zuverlässiger aufzudecken und bei Nichtablehnung der die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art zu verringern, auch wenn dadurch die Kosten für die Überprüfung der Maschine höher werden.