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Gütefunktion - Versionsgeschichte
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H0130wij am 12. Februar 2018 um 10:16 Uhr
2018-02-12T10:16:29Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 12. Februar 2018, 11:16 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{Testtheorie}}</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{Testtheorie}}</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{</del>Grundbegriffe<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">}}</del>==</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Grundbegriffe==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Gütefunktion oder Macht eines Tests===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Gütefunktion oder Macht eines Tests===</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l46">Zeile 46:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 46:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha</math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{0}</math>,</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha</math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{0}</math>,</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{Vorlage:Überschrift_2}}</del>==</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Zusatzinformationen</ins>==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Verlauf der Gütefunktion bzw. der [[Operationscharakteristik]] hängt</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Verlauf der Gütefunktion bzw. der [[Operationscharakteristik]] hängt</div></td></tr>
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<br />
=={{Grundbegriffe}}==<br />
<br />
===Gütefunktion oder Macht eines Tests===<br />
<br />
Die [[Wahrscheinlichkeit]] der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] in Abhängigkeit von allen unter der [[Nullhypothese|Null-]] und [[Alternativhypothese]] zulässigen [[Parameter]]werten wird als ''Gütefunktion'' oder ''Macht eines Tests'' bezeichnet und mit <math>G(\vartheta)</math> symbolisiert:<br />
<br />
<math>G(\vartheta) = P\left(V\mbox{ ist Element des Ablehnungsbereiches der }H_{0}\;|\;\vartheta \right) =P\left(H_{1}|\vartheta \right)</math><br />
<br />
Gehört der wahre [[Parameter]]wert <math>\vartheta</math> zu den zulässigen [[Parameter]]werten unter der [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math>, so wurde im Ergebnis der [[Statistischer Test|Test]]durchführung eine richtige Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1})</math>. <br />
<br />
Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die [[Wahrscheinlichkeit]] für die berechtigte [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] (berechtigte Annahme der [[Alternativhypothese]]) an:<br />
<br />
<math>G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad</math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{1}</math>,<br />
<br />
wobei <math>\theta_{1}</math> den [[Parameter]]raum unter <math>H_{1}</math> bezeichnet.<br />
<br />
Gehört der wahre [[Parameter]]wert <math>\vartheta</math> zu den zulässigen [[Parameter]]werten unter der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math>, so wurde im Ergebnis der [[Statistischer Test|Test]]durchführung eine falsche Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math>. <br />
<br />
Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Fehler 1. Art]] an:<br />
<br />
<math>G(\vartheta) = P\left(H_{1}|H_{0}\right) \leq \alpha </math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{0}</math>,<br />
<br />
wobei <math>\theta_{0}</math> den [[Parameter]]raum unter <math>H_{0}</math> bezeichnet.<br />
<br />
===Operationscharakteristik (OC-Kurve)===<br />
<br />
Mittels der Gütefunktion kann die Trennschärfe eines [[Statistischer Test|Tests]] beurteilt werden, d.h. die Fähigkeit, eine falsche [[Nullhypothese]] zuverlässig aufzudecken.<br />
<br />
<math>1 - G(\vartheta)</math> wird als ''Operationscharakteristik (OC - Kurve)'' eines [[Statistischer Test|Tests]] bezeichnet und gibt in Abhängigkeit von <math>\vartheta</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] für die [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnung der Nullhypothese]] an:<br />
<br />
<math>1 - G(\vartheta)=P(\mbox{V ist Element des Nichtablehnungsbereiches der }H_{0}|\vartheta)= P({H}_{0}|\vartheta)</math><br />
<br />
Gehört der wahre [[Parameter]]wert <math>\vartheta</math> zu den zulässigen [[Parameter]]werten unter der [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math>, so wurde im Ergebnis der [[Statistischer Test|Test]]durchführung eine falsche Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math>. <br />
<br />
Die Operationscharakteristik gibt in diesem Fall die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] an:<br />
<br />
<math>1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{1}) = \beta (\vartheta)</math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{1}</math>,<br />
<br />
Gehört der wahre [[Parameter]]wert <math>\vartheta</math> zu den zulässigen [[Parameter]]werten unter der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math>, so wurde eine richtige Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0})</math>. <br />
<br />
Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die [[Wahrscheinlichkeit]] für die berechtigte Beibehaltung der<br />
<math>H_{0}</math> an:<br />
<br />
<math>1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha</math> für alle <math>\vartheta</math> Element von <math> \theta_{0}</math>,<br />
<br />
=={{Vorlage:Überschrift_2}}==<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion bzw. der [[Operationscharakteristik]] hängt<br />
<br />
* von der verwendeten [[Teststatistik]] und deren [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] ab, die zur Bestimmung von <math>G(\vartheta)</math> bzw. <math>1 - G(\vartheta)</math> nicht nur unter <math>H_{0}</math>, sondern für alle zulässigen [[Parameter]]werte (zumindest [[Approximation|approximativ]]) bekannt sein muss;<br />
<br />
* vom vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] und <br />
<br />
* im Allgemeinen vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ab.</div>
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